这是"齐次化 & 增量代换"逆过程........

妙!.

是滴........ .....
像41楼这一题俺到现在也"想"不出"逆过程"该是如何滴.......唉........缩在墙角吧..........

恭祝猫老师、Ji大侠和各位大师新春快乐，牛年大吉！.

这! 块! 硬! 骨! 头!
俺决定采用无赖招数了!

考察 (2-x)*x^x  是否大于1;
当x=1,两边相等;
两边求导,然后考察x^x*[(2-x)*(Lnx+1)-1]是否小于0;
考察Lnx+1 和 1/(2-x), 易证当x<1, Lnx+1 < 1/(2-x), 所以x^x*[(2-x)*(Lnx+1)-1]<0, 可推得(2-x)*x^x <1 !!!.

非常感谢Ji大师！绝妙之解！
外出数日，迟复，歉甚！.

Ji大侠老是弄一些难啃的硬骨头搁在俺们喉咙里，很不爽！先做一半：

据题设，有(xi+1/2)^2=x(i-1)^2+5/4。

当i=1，x1=sqrt(5/4)-1/2<1-1/3;
设i=n时不等式成立，考察i=n+1;
因[x(n+1)+1/2]^2 =xn^2+5/4<=(1-1/3^n)^2+5/4=[3/2 - 1/3^(n+1)]^2 - [3^(n+2)-8]/3^(2*n+2)< [3/2 - 1/3^(n+1)]^2，
有x(n+1)<=1 - 1/3^(n+1)。
证毕。.