答: a, b, c中可能有1个或2个正数

由(x-y)/a=(y-z)/b=(z-x)/c=abc 化简得
x-y=a^2bc ------ (1)
y-z=ab^2c ------(2)
z-x=abc^2 ------(3)
∵(1)+(2)+(3)=0
∴a^2bc + ab^2c +abc^2=abc(a+b+c)=0
而a,b,c均≠0
∴a+b+c=0
即a, b, c中可能有1个或2个正数.

a 最小是648, 这三个数是 648, 649, 650

可以这么考虑:
(1) 找出最小的a,a+1, 使a能被9整除，a+1能被11整除
∵9 mod 11=9
∴9的倍数 mod 11依此余 9, 7, 5, 3, 1, 10...
可见当9*6=54时, mod 11=10, 其后续自然数一定是11的倍数
所以,  找出了最小的两个连续自然数54和55, 分别能被9和11整除

(2) 以54和55为基础, 同步增加9和11的最小公倍数99的话, 仍能保证分别能被9和11整除的特性

(3) 在(2)的基础上, 找出最小的a+1和a+2, 使a+1能被11整除，a+2能被13整除
∵99 mod 13=8,  55 mod 13=3
∴55加上99的倍数 mod 13依此余 3, 11, 6, 1, 9, 4,12...
可见当55+99*6=649时, mod 13=12,  其后续自然数一定是13的倍数
所以,  在不破坏(2)的特性的前提下, 找出了最小的两个连续自然数649和650, 分别能被11和13整除

综合上述, 满足条件的最小的三个连续自然数是 648, 649, 650.

14,23,32,41.....该数列如何得出?.

那俺再推广一道:
求最小的连续自然数, 使它们依此能被5,7,9,11,13整除？
俺的方法只要有耐心, 就能一步一步往下走哦

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-6-19 11:22 编辑 ].

哇, 太厉害了!
简直可以称作"ITmeansit猜想"了, 偶试了几个,貌似也没问题耶, 真的好佩服.

猫老师呀, 这个猜想成立吗? 能否证明一下呢?

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-6-19 14:56 编辑 ].

perfect

由此得出, 你的方法是最简单利索的, 很好奇是怎么慧眼发现的?.

ITmeansit 猜想经姜老师这么轻松一证, 就真的perfect 了
俺受ITmeansit 的影响, 一直在做因式分解呢, 您的证法和猜想本身一样漂亮!

这个方法太巧妙了, 比俺那种老黄牛算法效率大大提高, 一定要让儿子好好领略一番.

不要犹豫了, 就冲你的猜想, 俺和GerryBB欢迎你加入.

这个办法也真不错, 学习了!
看上去, 俺原来的方法是最笨的了.