“不等式最能反映出选手的创造能力. 很多不等式无法搬用固定的陈法, 必须自出机杼, 给出新颖的解法”(单墫语录).

现在, 在mathlinks的Olympiad Section上, 每18帖中, 6个分支的分布大致是——

Algebra:3
Combinatorics:2
Geometry:3
Inequalities:5
Number Theory:4
High-School Contests:1

这里我将挂一些最近新编的不等式题, 适合于高二以上同学..

对非负数a、b、c、d, 有


[ 本帖最后由 ji23 于 2008-1-7 11:52 编辑 ].

设正数x、y、z满足x + y + z = 1, 则
.

对实数a、b、c, 有



当a = b = c时等号成立.

[ 本帖最后由 ji23 于 2008-2-25 01:56 编辑 ].

引用:

原帖由 echooooo 于 2008-2-29 11:18 发表
就俺这老胳膊老腿，还拿大顶？能做俯卧撑就不错啦。

对正数x、y、z, 有



当x = y = z时等号成立.

[ 本帖最后由 ji23 于 2008-3-18 15:06 编辑 ].

反例
当a = -1, b = c = 1时,
a + b + c = 1,但
6(a³ + b³ + c³) + 1 = 7;
5(a² + b² + c²) = 15..

6(x³ + y³ + z³) + (x + y + z)³ - 5(x + y + z)(x² + y² + z²)

≡ F(x, y, z) = F(x, x + s, x + s + t)

= 2x(s² + st +t²) + 2t²(2s + t) ≥ 0,

这对0≤x≤y≤z是显然成立的..

设实数x、y、z满足x² + y² + z² = 1, 则

,

等号成立仅当x = y = z.

[ 本帖最后由 ji23 于 2008-4-9 14:37 编辑 ].

设实数a、b、c满足a + b + c = 3, 则

.

设非负数x、y、z满足x + y + z = 1, 则



[ 本帖最后由 ji23 于 2008-4-26 00:53 编辑 ].

对正数x、y、z, 有

x³ + 4y³ + 4z³ + xy² + 5yz² + 2xyz ≥ 2x²y + 3x²z + 3y²z,

等号成立当且仅当x : y : z = 5 : 1 : 2.

[ 本帖最后由 ji23 于 2008-5-21 21:29 编辑 ].

对实数a、b、c, 有

(a² + b² + c² + 5bc + 5ca + 5ab)² ≥ 12(a + b + c)²(bc + ca + ab),

等号成立当且仅当a = b = c..

对正数a、b、c, 有

.

设0 < x < 1, 则

.

用加权的算术平均——几何平均不等式:

祝greenjyz 新年牛气十足~.

设　则



[ 本帖最后由 ji23 于 2011-12-11 10:41 编辑 ].

证明:|sin(x - 1)| + |sin x| + |sin(x + 1)|≥ 2 sin1对所有实数x都成立..

..

在锐角△ABC中, 有

.

.