1、能不能找到3个自然数a,b,c,使得关系式（a+b+c）（a-b+c）（a+b-c）（b+c-a）=3388成立。

否
（a+b+c）、（a-b+c）、（a+b-c）、（b+c-a）同奇偶
3388=2^2x7x11^2
所以（a+b+c）、（a-b+c）、（a+b-c）、（b+c-a）都是偶数
但只有2x2两个偶数因子.

2、在4*4的方格中填有1-16这16个数，讲其中任意3个格子中的数同时加1或减1称为一次操作，问能否经过有限次这种操作使得16个方格中的数都是零？

1+2+3+...+16=...不是3的倍数
任意3个格子中的数同时加1或减1——每次总数加3或减3
总数不可能为0
更谈不上使得16个方格中的数都是零了.

3、一个五位数是一个整数的四次方，且其奇数数字之和等于偶数位数字之和，求这个五位数。

一个整数的四次方是五位数的很有限，估计是10~18之间吧？
不妨穷举.

4、一个六位数，它能够被9和11整除。去掉这个6位数的首、尾两个数字，中间的4个数字是1997，那么这个6位数是多少？

设a1997b，0<a<=9，0<=b<=9，0<a+b<=18
能够被9整除的数的性质是数字和能被9整除，
能够被11整除的数的性质是奇数位数字和等于偶数位数字和，
穷举下.

5、已知八位数3a42b16c是27的倍数，请算出a+b+c的值，并写出8个这样的八位数。

27的倍数的性质不太清楚，不过至少也是9的倍数
穷举下计算量也有限
何况题目本来就“并写出8个这样的八位数”
再找出a+b+c的值的规律.

6、从1到9这九个数中，有3个顺序相连的数a,b,c，用他们组成六个分数b/a,c/a,a/b,c/b,a/c,b/c，将这六个分数加起来恰好是一个整数，则相连的三个数是？

1、把（1、2、3），（2、3、4），（3、4、5），.。。（7、8、9）都代进去，是的就是。

2、设b=a+1，c=a+2
代入b/a,c/a,a/b,c/b,a/c,b/c，并变形
3/a-3/(a+2)为整数
即a<=3
穷举得a=1
相连的三个数是1、2、3.

也别穷举了
“奇数数字之和等于偶数位数字之和”
11.

在一个圆周上放了一枚黑色的和990枚白色的围棋子.一个同学进行这样的操作:从黑子开始,按顺时针方向,每隔一枚,取走一枚.当他取走黑子时,圆周上还剩下多少枚白子.(第六届小机灵决赛试题)

第一次取掉495枚偶数位白子，正好跳过黑子，
剩下495枚白子
第二次取掉248枚奇数位白子，正好跳过黑子，
剩下247枚白子
第三次取掉124枚奇数位白子，正好跳过黑子，
剩下123枚白子
第四次取掉62枚奇数位白子，正好跳过黑子，
剩下61枚白子
第五次取掉31枚奇数位白子，正好跳过黑子，
剩下30枚白子
第六次取掉15枚奇数位白子，正好取掉黑子，
剩下15枚白子

能穷举时就穷举，不能穷举时枚举找规律.

实际上没等做完，规律早已呈现，做检验用。.

减1再除以2是偶数时就要玩完了。.

还要加一句：
或者它们的差能被11整除。 .