出现P对
而且数字不重复.

没有群论或者原根的思想呢？.

通过初等判断，除p=2、3，必须满足质数p=6n-1，n是除0外自然数
比如：n=1，p=5；n=2,p=11；n=4,p=23；n=5,p=29都可以
但n=3,p=17时不行，因为2p+1=35是合数
n=6,p=35时又不行了。

不过试验了下p=17，2p+1=35，发现个满有意思的东东：
打个循环先
17，18
26，9
13，22
24，11
12，23
6，29
3，32
19，16
27，8
31，4
33，2
34，1
17，18
除了数字5、10、15、20、25、30、
        7，14，21，28
外，其余1~34都出现了。
而没出现的数字的规律是显而易见的：
35的约数的整数倍，且都成对
（5，30）、（10、25）（15、20）、（7、28）、（14、21）
是否是个普遍规律呢？.

p=47,2p+1=95
也是这样的，除了5、19的整数倍，1~94都出现了。.

俺觉得可能有如下命题：
按上述变换规则，
两个相邻自然数m、m+1，
若有2m+1=n是素数，则1~2m都出现；
若有2m+1=n=p*k*...是合数，则除合数n的约数p、k、...及其整数倍外，1~2m都出现。

理由：
m、m+1必能按上述变换规则变换，变换后的数字亦如此；
每一次变换都是唯一的、单向的；
这种变换可以无限进行；
故必存在单一循环。

若n是素数，则变换过程中的任一对数字是互质的，所以不存在第二个循环；
若n=p*k*...是合数，n必是奇数，存在另外的循环，
即若某一对数字不互质时，会发生短循环。
但这些循环不会交叉。.

呵呵，看了，
看不懂。
俺是在用初等的办法理理思路，
不知能否用高等的办法证明或否定。.

O，俺说的初等是初等的初等。
比较直观易记易懂的那些东东。.