1、
999=3*3*3*37，
其中任几个数的乘积不为49，
则取>49的最小乘积=3*37=111，
最大公约数最大=999/111=9

48个9，1个567=9*（111-48）.

2、
问题的核心是：自己驾驶的汽车未必用自己的钥匙，只要在的人有就行。

如果有11位司机，每人都有所有车的钥匙，既可满足要求。
因为最多只有10位司机不在，总有一人有所有汽车的钥匙。

所以，最少需要钥匙11*40=440把，每辆车配11把。.

3、
三枚五分硬币，可配5、10、15；
三枚一角硬币，可配10、20、30；
三枚五角硬币，可配50、100、150。
可以看出，5~45中5的倍数都行，于是再加若干枚五角硬币就能配出50~195中5的倍数，
所以可以组成195/5=39种不同的币值。.

7、
先假设万位上是6，问题就变成0~9999中能被3整除的数=9999/3=3333；
再假设千位上是6，问题就变成1000~9999中能被3整除的数=9999/3-1000/3=3000；
再假设百位、十位、个位上是6，问题就变成与假设千位上是6一样，共9000；
所以，至少出现一个6，且能被3整除的5位数有15333个。.

有重复，再想。.

8、从1、2、3……，100中任取n个数（n≥2）这n个数中总有2个数不互质，则n的最小值为多少？

1~100中，素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个，
所以n=26时，总有2个数不互质。

[ 本帖最后由 echooooo 于 2007-9-26 09:13 编辑 ].

9、有一些小朋友排成一行，从左边第一人开始，每隔2人发一个苹果；从右边第一人开始，每隔4人发一个橘子，结果有10个小朋友苹果和橘子都拿到了，那么这些小朋友最多有几人？

左边第一人开始，每隔2人发一个苹果，实际上是每3人发1个；
从右边第一人开始，每隔4人发一个橘子，实际上是每5人发1个；
于是，每15人总有且仅有1人能苹果和橘子都拿到。
有10人都拿到，就至少有9*15+1=136

那么，当左边是最接近15的3的倍数即12；
右边是最接近15的5的倍数即10时，人最多。
得136+10+12=158.

10、凸100边形内有50个点，连同它的顶点共有150个点，这150个点中任意三点都不共线，以这150个点为顶点，能把这个凸边形分割成多少个三角形？

关键是“分割”这个概念，我的理解是割掉一块是一块。
所以，一个具体的“凸100边形内有50个点，连同它的顶点共有150个点，这150个点中任意三点都不共线”的形状，分割的形式可以不同，但块数是一样的。

那么就简单了，先是任意三个点可以组成一个三角形，只要其中不含其它点即可；
然后以此三角形的任意一边，与其它一点也可组成一个三角形，同样只要其中不含其它点即可；
依次进行。
最终分割下来的三角形数量必定是150-2=148个.

12、125个同样大小的正方体，其中60个为白色，65个为红色，将它们拼搭成一个大正方体，设大正方体的表面上，白色部分的面积与红色部分的面积之比为f，则f的最小值是多少？

大正方体当然是5x5x5，其中包含3x3x3=27的小正方体，，即大正方体外表需用98个小正方体。
题目要求白色部分的面积与红色部分的面积之比f越小越好，所以红色小正方体勇的越多越好，而且，最好用在角上（3面露出），其次用在边上）2面露出。
或者说，即使用白色小正方体，最好用在非角非边上，最多可以用掉3x3x6=54个。

思路清楚后就好做了。
内部的27个小正方体全部用白色的，余下60-27=33个白色小正方体都用在非角非边上（33<54）。

f=33/(8*3+12*3*2+54-33)=33/117=11/39

另外8*3+12*3*2+54-33=5*5*6-33.

13、某地以如下规定收取煤气费；（1）每月所用煤气按整立方米计算；（2）若每月用煤气不超过24立方米，按每立方米0.9元收费，若超过24立方米，超过部分按每立方米2。0元收费，已知甲家比乙家多交煤气费9。6元，则甲家交了煤气费几元？

9.6既不是2.0的整数倍，也不是0.9的整数倍，
所以甲家用煤气超过24立方米，乙家用煤气不超过24立方米。

设甲家用煤气超过24立方米m立方米
乙家用煤气不超过24立方米n立方米，
列式
9.6=2m+0.9n，m、n为正整数
凑一下（穷举），
得m=3
n=4
即乙家用煤气24-4=20立方米
0.9*20=18元
乙家用煤气24+3=27立方米
24*0.9+3*2=27.6元.