近日，有同学问我一道俄罗斯数学竞赛题：两个罐子中共有2p+1个球，每一秒中都把放有偶数个球的罐子中的一半的球投入另一个罐子，设k为小于2p+1的自然数，p和2p+1都是素数，证明:或迟或早某一个罐子正好装有k个球。
俄罗斯、罗马尼亚、巴尔干等东欧地区，总能出现一些数论、组合方面的好题，此题可以供高中同学思考。.

此题主要的难点在于，并不是每次都针对一个罐子进行减半操作，这样也就无法递推，难以找到明显的规律。
找不到“一致的步伐”。.

主要是“步伐”统一起来就可以了。
要能做出此题的学生，需要扎扎实实学半年数论。

[ 本帖最后由 wood 于 2008-3-12 23:10 编辑 ].

能编出这样的题，的确很厉害，我很喜欢东欧国家的题。.

引用:

原帖由 echooooo 于 2008-3-13 09:43 发表
俺觉得可能有如下命题：
按上述变换规则，
两个相邻自然数m、m+1，
若有2m+1=n是素数，则1~2m都出现；
若有2m+1=n=p*k*...是合数，则除合数n的约数p、k、...及其整数倍外，1~2m都出现。

理由：
m、m+1必能按 ...

上面猜测没有触及问题本质，所以不会成立，看7楼的解答以后，再考虑推广比较好。.

引用:

原帖由 echooooo 于 2008-3-13 12:40 发表
呵呵，看了，
看不懂。
俺是在用初等的办法理理思路，
不知能否用高等的办法证明或否定。

这个也是初等的办法。.

呵呵，家长能这样已经很节棍了。
但是小孩可不能永远停留在此。。。.