我来个不罗嗦的:
2,3,4,5,6最小公倍数=60,所求的数=60n+1
尝试到n=5时,得301能被7整除,完毕.

关键:这样的题用最小公倍数求最简洁..

这类题目是小学难度,没有普遍适用的解法.
12#那题.今有物不知其数量，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物有几何?
三三数之余二，七七数之余二, 3,7最小公倍数21, 所以所求数=21n+2
又五五数之余三，所以21n+2仅当n=5k+1时满足题意.
通解是105k+23, 其中k为非负整数

14#楼: 一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是（  52 ）。
这是不同余数的情况,最为复杂.
被7除余3。 设所求数为7a+3
为了7a+3被5除余2, a=5b+2(因为2是第一个使得7a+3被5除余2的数,这点务必理解)
于是通解可以表示为7(5b+2)+3=35b+17
为了35b+17被3除余1，b=3c+1  (道理同上面括号里的一样)
所以通解=105c+52.   这里的a,b,c均为非负整数。
你的题目如果问这样的自然数最小的两个是多少？答案是52，157。.

什么叫"90个数加1也是的",90个数加1是改变了奇偶性的呀.
你这个证明我看起来有点困惑..