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标题: 求关于余数的奥数题 [打印本页]

作者: heyinbao020226 时间: 2012-5-3 22:58 标题: 求关于余数的奥数题

甲、乙、丙三人从2001年1月1日开始工作，甲每工作3天就休息1天;乙每工作5天就休息2天；丙每工作7天休息3天。那么在2001年的所有365天里，三人同时休息的有几天？.

作者: junhuayang2005 时间: 2012-5-4 06:48

是六年级还是五年级奥数问题？
可以用物不知数的方式来解决；也可以用重叠原理来做。我现在尝试一下。.

作者: 佳嘉妈妈 时间: 2012-5-4 08:47

11天.

作者: ccpaging 时间: 2012-5-4 11:09

引用:

原帖由 heyinbao020226 于 2012-5-3 22:58 发表 $\"\"$
甲、乙、丙三人从2001年1月1日开始工作，甲每工作3天就休息1天;乙每工作5天就休息2天；丙每工作7天休息3天。那么在2001年的所有365天里，三人同时休息的有几天？

这道题在小学是最适合用来作弊的题目。考前，告诉你，记住了。考试的时候，没做过，至少要花半小时去研究。于是，你完胜。.

作者: junhuayang2005 时间: 2012-5-4 11:41

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原帖由 佳嘉妈妈 于 2012-5-4 08:47 发表 $\"\"$
11天

应该不是11。
我正在找最简洁的做法。.

作者: junhuayang2005 时间: 2012-5-4 11:43

最小公倍法
分类、分步做
如果只有甲乙，则相对简单些。.

作者: ccpaging 时间: 2012-5-4 16:41 标题: 回复 6楼junhuayang2005 的帖子

可以要求降低难度：
甲、乙、丙三人从2001年1月1日开始工作，甲每工作3天就休息1天;乙每工作5天就休息1天；丙每工作7天休息1天。那么在2001年的所有365天里，三人同时休息的有几天？

甲、乙、丙三人从2001年1月1日开始工作，甲每工作3天就休息1天;乙每工作5天就休息3天；丙每工作7天休息5天。那么在2001年的所有365天里，三人同时休息的有几天？

可以要求增加趣味性：
甲乙丙三条蚕宝宝同时开始吃桑叶，甲每吃3秒就休息1秒;乙每吃5秒就休息1秒；丙每吃7天秒休息1秒。问6分钟里边，三条宝宝正好都在休息的时间有几秒？.

作者: ccpaging 时间: 2012-5-4 17:02

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原帖由 junhuayang2005 于 2012-5-4 11:43 发表 $\"\"$
最小公倍法
分类、分步做
如果只有甲乙，则相对简单些。

作为童鞋，希望老师提供至少三种求助方式。例如，把题目改的好玩，把题目先改的简单点，提供辅助工具等。.

作者: heyinbao020226 时间: 2012-5-4 19:42 标题: 回复 2楼junhuayang2005 的帖子

我也不晓得是几年级的，推荐的老师说是小学奥数的知识点。但是的确是要用到公倍数的。.

作者: heyinbao020226 时间: 2012-5-4 19:45 标题: 回复 3楼佳嘉妈妈的帖子

老师给的答案是11天，但我不理解。.

作者: heyinbao020226 时间: 2012-5-4 19:47 标题: 回复 4楼ccpaging 的帖子

果真可以用来作弊的题目，不麻烦到网上来请教了。

唉，现在大家都被XX杯、XX门的弄得憔悴了。.

作者: junhuayang2005 时间: 2012-5-4 20:07

引用:

原帖由 heyinbao020226 于 2012-5-4 19:42 发表 $\"\"$
我也不晓得是几年级的，推荐的老师说是小学奥数的知识点。但是的确是要用到公倍数的。

因为其他地方六年级是小学，比如北京等。而上海六年级就是初中了。所以这个知识点可以说是小学的，也可以说是初中的。.

作者: ccpaging 时间: 2012-5-4 20:10 标题: 回复 11楼heyinbao020226 的帖子

7#适合预初的童鞋研究。

这道题源自中国古代著名算题。原载《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。问物几何?”当时虽已有了答案23，但它的系统解法是秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的。大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题。

对于这种解一般“孙子问题”的方法，有四句歌诀，名曰《孙子歌》：
　　三人同行七十稀，
　　五树梅花廿一枝；
　　七子团圆正半月，
　　除百零五便得知。

不过，用这种方法解这类问题，有它的局限性，它只能解答用3、5、7作除数的题目，遇到用其他数作除数的算题，它就行不通了。这一点必须引起我们的注意。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
也就是说：
1、它看起来很简单，似乎只需要公倍数。实际上，通解是欧拉定理，需要数论知识。
2、记住3、5、7的解是容易的，连口诀都有。好教。
3、这道题可以保证这一点，上过这个奥数课，看过这道题的，一般都能解出，没有上过这堂奥数课的，很难解出，即使解出来也需要花大量时间。

当你看到某个孩子会做这道题，只需要把357中的一个换成别的素数，就知道这个孩子是真聪明还是记性好了。

类似的题目还有自定义运算符和其它余数定理的运用等，这些是不适合小学生探究的，三年级奥数里边的数3行4列的方块，这有一定的探究价值），但它们的共同特点是公式好记好背，不易懂。

所以，让小学生研究这类问题到这种难度，结果只有一个－－死记硬背。另外，在小学期间，碰到这样的题，我不让儿子做，我的亲生儿子，毁掉他，舍不得。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-5-4 20:48 编辑 ].

作者: heyinbao020226 时间: 2012-5-4 20:35 标题: 回复 12楼junhuayang2005 的帖子

有道理。.

作者: heyinbao020226 时间: 2012-5-4 20:38 标题: 回复 13楼ccpaging 的帖子

你厉害的！一道奥数题，竟把渊源都整出来了。有你这样的老爸，儿子的数学怎么能不轻松自如。

我儿子也是嫡亲的，我听你的，决定不打搅他要弄懂这道题了。这本就符合我懒于深究的性格。哈哈~~~.

作者: ccpaging 时间: 2012-5-4 20:43 标题: 回复 15楼heyinbao020226 的帖子

如果有时间，比如半天，想玩玩数学，可以参照7#的方案，尤其是蚕宝宝的方案。.

作者: 卓越妈妈 时间: 2012-5-4 20:45 标题: 回复 13楼ccpaging 的帖子

O了，先不给他做这道题了。.

作者: heyinbao020226 时间: 2012-5-4 20:49 标题: 回复 16楼ccpaging 的帖子

真想有你这样的心性和对数学的领悟。如果有，我也一定带儿子玩数学。可是爹妈没给啊！

我的数感，有时候还没有儿子强。

作者: junhuayang2005 时间: 2012-5-5 06:09

引用:

原帖由 heyinbao020226 于 2012-5-4 20:49 发表 $\"\"$
真想有你这样的心性和对数学的领悟。如果有，我也一定带儿子玩数学。可是爹妈没给啊！

我的数感，有时候还没有儿子强。

书读百遍，其义自现。建议把孩子的小学教材好好通读N遍，再把初中教材好好通读N遍，远胜一个个题的做。能从教材找到线索，那就会事半功倍的。
鸡兔同笼的实质到底是什么？铺地锦到底实质是什么？周长一定的长方形，何时面积最大或者最小（另外一个面积一定的长方形，何时周长最大或者最小）这道题目到底想说的是什么？最大或者最小差又是在说什么呢（减法塔问题）？最大或者最小积在说什么呢？小数点的移动规律又到底在说什么,实质是什么呢？.......

我数学研究的多，但是我不太教女儿，教的时候，也会着重在思路上点拨的。现在我想要在她面前承认不会做，这样她的动力或许比现在大。.

作者: sunshinesht 时间: 2012-5-5 16:44

我儿子也是嫡亲的，我听你的，决定不打搅他要弄懂这道题了。这本就符合我懒于深究的性格。

这句话似有甄嬛体的风格。

作者: heyinbao020226 时间: 2012-5-5 19:31 标题: 回复 19楼junhuayang2005 的帖子

很羡慕你们，天生的数学头脑。自然也能从最好的角度出发去引导孩子。我数学从来只会做例题，例题以外，全军覆没。.

作者: heyinbao020226 时间: 2012-5-5 19:33 标题: 回复 20楼sunshinesht 的帖子

研究了一下甄缳体，发现的确如此。

作者: junhuayang2005 时间: 2012-5-6 21:16

最近我自己正在看九章算术等，在张景中主编的好玩的数学系列之中国古算解趣（科学出版社出版）第31至36问题中讲解的就是此鼂类题目的各种解决，为古代人的聪明叹服。
物不知数又称为韩信点兵，秦王暗点兵、鬼谷算、隔墙算，开创了世界“同余式”研究的先河。中国的剩余定理，最早见于《孙子算经》。.

作者: heyinbao020226 时间: 2012-5-6 23:22 标题: 回复 23楼junhuayang2005 的帖子

这样的书还对得下去，佩服！以前就不爱动脑子，现在更加不想了。.

作者: junhuayang2005 时间: 2012-5-7 07:48

引用:

原帖由 heyinbao020226 于 2012-5-6 23:22 发表 $\"\"$
这样的书还对得下去，佩服！以前就不爱动脑子，现在更加不想了。

呵呵，以前上学时候没有条件，也没有想到看这些，现在再看这些领悟力自然不同了。经常有豁然开朗之感觉，又有发现新大陆之感觉。
动动脑筋有好处，我是说对我来说，
好处之一是对女儿的自信有所帮助、学习信心有所帮助，树立了做家长的权威，女儿佩服我得很要紧，呵呵；
好处之二是可以把业余时间安排得更为充实，多动脑筋，免得自己思维退化得过早，希望自己无论多大年龄都能够明明白白一些做人；
好处之三是见到有趣的题目，尤其是旺网上家长或者学生的求解帖，凡是看到自己也能够有些想法的是乐此不疲的，也许有些时候只能给个引子，不过心情就很是大好了；
好处之四是其实这些题目在古代属于取材于现实的内容，尽管尽信书不如无书，但是前提仍旧是需要看很多书，才能明白要信什么、如何信。最好能用在生活的实践上，也是非常的有意思的。
。。。。。。
我比较悠闲，所以上班的家长们也不要勉为其难。.

作者: 快乐宝宝快乐妈 时间: 2012-5-7 09:50 标题: 回复 1楼heyinbao020226 的帖子

甲休息：4的倍数(4n)
乙休息：7的倍数（7m）或7的倍数减1（7m-1）
丙休息：10的倍数（10x）或10的倍数减1（10x-1）或10的倍数减2（10x-2）
分析：（1）4n，7m，10x时，即为4，7，10的公倍数（140，280）2天；
   （2）4n，7m，10x-1时，此种情况不存在，10x-1的数不可能是4的倍数；同时排除4n，7m-1，10x-1的情况
   （3）4n，7m，10x-2时，（28，168，308）3天；
   （4）4n，7m-1，10x时，（20，160，300），3天；
   （5）4n，7m-1，10x-2时，（48，188，328），3天；
所以此题答案就是11天.

作者: seaheroli 时间: 2012-5-7 11:20 标题: 回复 26楼快乐宝宝快乐妈的帖子

感觉你的是正解，此题并不是前面的那种古代算数所说的意思。而应该就是公倍数。.

作者: heyinbao020226 时间: 2012-5-7 14:03 标题: 回复 25楼junhuayang2005 的帖子

的确！好妈妈！

我家都逼着儿子自己动脑子了。

惭愧！.

作者: heyinbao020226 时间: 2012-5-7 14:06 标题: 回复 26楼快乐宝宝快乐妈的帖子

老师也是这个答案。

谢谢！转给小子学习！.

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