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标题: [数学] 几何证明 急 [打印本页]
作者: lucyluan1799    时间: 2010-7-16 19:19     标题: 几何证明 急

在直角三角形ABC中 AD为斜边BC上的高
I为△ABC的内心 I1为△ABD的内心 I3为△ACD的内心
求证：I为△AI1I2的垂心[attach]531633[/attach].
作者: lucyluan1799    时间: 2010-7-16 20:41

哈哈 会做了 老妈比我多做半个小时也没做出来.
作者: wip老爸    时间: 2010-7-16 20:55

延长CI2交AI1于E
延长BI1交AI2于F
角EI2 I=45
角FI I1=角EI I2=45
所以角I1EI2=180-(角EI2I+ EII2)=90
同理角I2FI1=90

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-16 20:57 编辑 ].
作者: 冬瓜爸爸    时间: 2010-7-17 12:38     标题: 回复 2#lucyluan1799 的帖子

还是这题，加一问：连接I1 I2的直线交AB于P,交AC于Q，求证AP=AQ。 试试看吧。.
作者: lucyluan1799    时间: 2010-7-17 13:10     标题: 回复 4#冬瓜爸爸 的帖子

设AI交PQ与H
AI平分∠BAC
AI⊥PQ
又有一条公共边AH
所以两个三角形全等
AP=AQ
这2个是我要做的一道题的2个关键步骤 嘿嘿.
作者: 老姜    时间: 2010-7-17 13:17

还是这个图，继续问：三角形ＡＢＣ的内切圆与三角形ＩＩ１Ｉ２的外接圆哪个更大一些？.
作者: 老姜    时间: 2010-7-17 13:19

还是这个图，继续问：三角形ABC的面积，与三角形APQ的面积的2倍，哪个更大一些？.
作者: 老姜    时间: 2010-7-17 13:19

这个图，我还可以问出20个问题。呵呵。.
作者: 老猫    时间: 2010-7-17 16:23

继续继续，我要这二十个问题。
嘿嘿。.
作者: 老猫    时间: 2010-7-17 16:23

引用:
原帖由 老姜 于 2010-7-17 13:19 发表 \"\"
这个图，我还可以问出20个问题。呵呵。
这是一个很经典的图，里面的含有的结论实在是太多。.
作者: 老姜    时间: 2010-7-17 16:38

突然发现，这是在进华的圈子里，笑而不语…….
作者: 老猫    时间: 2010-7-17 22:19

引用:
原帖由 老姜 于 2010-7-17 16:38 发表 \"\"
突然发现，这是在进华的圈子里，笑而不语……
，你是坏人。.
作者: 盼星星    时间: 2010-7-18 07:08

引用:
原帖由 wip老爸 于 2010-7-16 20:55 发表 \"\"
延长CI2交AI1于E
延长BI1交AI2于F
角EI2 I=45
角FI I1=角EI I2=45
所以角I1EI2=180-(角EI2I+ EII2)=90
同理角I2FI1=90
没看懂能否解释一下，多谢！.
作者: lucyluan1799    时间: 2010-7-18 07:42     标题: 回复 13#盼星星 的帖子

原题等价于证I是△AI1I2的两条高的交点
等价于证I2I垂直于AI2
∠CBI1=∠CBI
所以C、I1、I三点共线
等价于证BI垂直于AI2
然后就是wip爸的解法.
作者: lucyluan1799    时间: 2010-7-18 07:45     标题: 回复 7#老姜 的帖子

△ABC的面积更大
证全等把AP或AQ转到CD上.
作者: wip老爸    时间: 2010-7-18 08:06

引用:
原帖由 老姜 于 2010-7-17 13:17 发表 \"\"
还是这个图，继续问：三角形ＡＢＣ的内切圆与三角形ＩＩ１Ｉ２的外接圆哪个更大一些？
一样大
[attach]531935[/attach]
证明: 设三角形DAB、三角形DAC、三角形ＡBC的内切圆半径分别为r1、 r2、 r
         可证:  r^2=r1^2+r2^2  (这个花了些时间)
         而    (I1I2)^2=2( r1^2+r2^2 ) (这个图上易找到关系)
         所以  I1I2 = sqrt(2) r
        设三角形II1I2的外接圆半径为R,
        易知, 2R=I1I2 / sin(180-∠I1I I2)= I1I2/sin(45)=2r
        故R=r

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-18 08:09 编辑 ].
作者: wip老爸    时间: 2010-7-18 08:46

引用:
原帖由 盼星星 于 2010-7-18 07:08 发表 \"\"

没看懂能否解释一下，多谢！
I, I1分别为三角形ABC, △ABD的内心, 所以I, I1在角B平分线上, 设其与AI2交于E
I, I2分别为三角形ABC, △ACD的内心, 所以I, I2在角C平分线上, 设其与AI1交于F
角EI2I=角ACI2+角I2AC=(角DAC+角C)/2=45
角FII1=角IBC+角ICB=(角B+角C)/2=45=角EII2
所以角I1EI2=180-(角EI2I+ EII2)=90
同理角I2FI1=90

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-18 08:49 编辑 ].
作者: lucyluan1799    时间: 2010-7-18 12:43     标题: 回复 16#wip老爸 的帖子

这个图是你画的吗？.
作者: wip老爸    时间: 2010-7-18 15:24

引用:
原帖由 lucyluan1799 于 2010-7-18 12:43 发表 \"\"
这个图是你画的吗？
是与右边三角形同名的那个家伙画的..
作者: lucyluan1799    时间: 2010-7-18 15:30     标题: 回复 19#wip老爸 的帖子

WHAT？.
作者: wip老爸    时间: 2010-7-18 15:34     标题: 回复 20#lucyluan1799 的帖子

杀鸡用牛刀, 是用cad软件画的..
作者: lucyluan1799    时间: 2010-7-18 17:06     标题: 回复 21#wip老爸 的帖子

哦 好厉害啊
我的话肯定用几何画板 嘿嘿.
作者: 老姜    时间: 2010-7-18 18:38

引用:
原帖由 wip老爸 于 2010-7-18 08:06 发表 \"\"

一样大
531935
证明: 设三角形DAB、三角形DAC、三角形ＡBC的内切圆半径分别为r1、 r2、 r
         可证:  r^2=r1^2+r2^2  (这个花了些时间)
         而    (I1I2)^2=2( r1^2+r2^2 ) (这个图上易找到关系)
  ...
这是所有解法里最简单和漂亮的一个。献花。.
作者: 流星雨bb    时间: 2010-7-18 19:36

好玩吗？
1+1=？.
作者: 老猫    时间: 2010-7-18 20:18

引用:
原帖由 流星雨bb 于 2010-7-18 19:36 发表 \"\"
好玩吗？
1+1=？
如果按照当前的数学规则，应该等于2。.
作者: wip老爸    时间: 2010-7-18 21:56

引用:
原帖由 老姜 于 2010-7-18 18:38 发表 \"\"

这是所有解法里最简单和漂亮的一个。献花。
谢谢!将姜老师的表扬在女儿面前显摆了一下.
作者: wip老爸    时间: 2010-7-18 22:06

证r^2= r1^2+ r2^2这个好玩.
    设a是斜边, b与c是直角边,
               b+c=2r+a
      所以 b^2+c^2+2bc=4r^2+4ra+a^2
        而   b^2+c^2=a^2
              bc=2(r^2+ra)
            S△ABC= r^2+ra  
      同理  S△ABD=r1^2+r1b, S△ACD=r2^2+r2c
         又  S△ABC=S△ABD+ S△ACD
      所以 r^2+ra= r1^2+r1b+ r2^2+r2c
         而  ra=r1b+r2c(= 2S△ABC)
              r^2= r1^2+ r2^2.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-18 23:01

继续玩01

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:48 编辑 ].
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-18 23:01

继续玩02

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:48 编辑 ].
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-18 23:02

继续玩03

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:48 编辑 ].
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-18 23:12

继续玩04

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-18 23:13

继续玩05

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].
作者: 老猫    时间: 2010-7-18 23:21

引用:
原帖由 wip老爸 于 2010-7-18 22:06 发表 \"\"
证r^2= r1^2+ r2^2这个好玩.
    设a是斜边, b与c是直角边,
               b+c=2r+a
      所以 b^2+c^2+2bc=4r^2+4ra+a^2
        而   b^2+c^2=a^2
              bc=2(r^2+ra)
            S△ABC= r^2+ra ...
顺便提一句，r^2= r1^2+ r2^2直接用相似比和面积就出来了。.
作者: wip老爸    时间: 2010-7-18 23:42

引用:
原帖由 老猫 于 2010-7-18 23:21 发表 \"\"

顺便提一句，r^2= r1^2+ r2^2直接用相似比和面积就出来了。
是的. 我绕圈子了. 或者,
  S△ABC= r^2+ra 这个在图中面积加加就出来了..
作者: 冬瓜爸爸    时间: 2010-7-19 07:43     标题: 眯了一歇歇，楼盖了噶高了！

真可谓，真理越辩越明，闲话越传越多。哈！.
作者: 冬瓜爸爸    时间: 2010-7-19 07:52     标题: 回复 28#炫炫爸 的帖子

原解楷特，留给楼主来做。:-)

[ 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-7-19 22:24 编辑 ].
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-19 12:17

继续玩06

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-19 12:24

继续玩07

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-19 12:29

继续玩08

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-19 12:38

继续玩09

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:50 编辑 ].
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-19 12:49

继续玩10

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:50 编辑 ].
作者: 冬瓜爸爸    时间: 2010-7-19 12:53     标题: 炫炫爸，慢慢来

炫炫爸一口气，继续玩到这么远。
我给炫炫爸来配音：
“我让你们出题！你们不是会加一问再加一问吗，出题谁不会啊！”
（炫炫爸别砸我）.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-19 12:53

继续玩11

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:50 编辑 ].
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-19 13:04

继续玩12

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:50 编辑 ].
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-19 13:10

继续玩13

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:51 编辑 ].
作者: lucyluan1799    时间: 2010-7-19 21:20     标题: 回复 36#冬瓜爸爸 的帖子

这道题应该我来做嘛 我才是这道题的发起人啊 只不过换了个方法问.
作者: 冬瓜爸爸    时间: 2010-7-19 22:26     标题: 回复 46#lucyluan1799 的帖子

解答如你要求已经删掉。:-).
作者: wip老爸    时间: 2010-7-19 23:35

在原题范围, 发现两个好玩结论:

1) AI=I1I2
2) r+r1+r2=AD
(证明易, 略了)

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-19 23:37 编辑 ].
作者: lucyluan1799    时间: 2010-7-20 10:45     标题: 回复 47#冬瓜爸爸 的帖子

不要啊 你这样一说 我觉得自己又说错话了 我已经第三次说错话了（而且肯定不止）.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 11:07

继续玩14.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 11:07

继续玩15.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 11:08

继续玩16.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 11:24

继续玩17.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 11:25

继续玩18.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 11:25

继续玩19.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 11:25

继续玩20.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 11:41

继续玩21.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 11:41

继续玩22.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 11:41

继续玩23.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 11:59

继续玩24.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 12:00

继续玩25.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 12:00

继续玩26.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 12:00

继续玩27.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 12:00

继续玩28.
作者: GerryBB    时间: 2010-7-20 12:08

不用笔和纸，口算题？.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 12:10

继续玩29.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 12:40

继续玩30.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 12:40

继续玩31.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 12:41

继续玩32.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 12:41

继续玩33.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 12:41

继续玩34.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 12:42

继续玩35.
作者: lucyluan1799    时间: 2010-7-20 15:08

引用:
原帖由 炫炫爸 于 2010-7-20 11:07 发表 \"\"
继续玩14
列方程应该可以解吧.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 15:57

继续玩36.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:32

继续玩37.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:33

继续玩38.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:33

继续玩39.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:33

继续玩40.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:33

继续玩41.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:34

继续玩42.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:34

继续玩43.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:34

继续玩44.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:35

继续玩45.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:35

继续玩46.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:36

继续玩47.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:36

继续玩48.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-20 22:36

继续玩49.
作者: amani    时间: 2010-7-20 22:48

s

[ 本帖最后由 amani 于 2010-7-21 19:39 编辑 ].
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-21 09:41

继续玩50.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-21 09:42

继续玩51.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-21 09:42

继续玩52.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-21 09:42

继续玩53.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-21 09:43

继续玩54.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-21 13:18

继续玩55.
作者: 炫炫爸    时间: 2010-7-21 13:18

继续玩56.



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