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标题: [数学] 求教一道因式分解题 [打印本页]

作者: 小老虎他爸 时间: 2010-6-21 11:22 标题: 求教一道因式分解题

6(x-1)^4 + x(2x-1)(3x-4)(4x-5)

如将两部分分别强行展开，合并后，再用待定系数法解，是可以的，但要费九牛之力。请教有无正解？谢谢.

作者: 小老虎他爸 时间: 2010-6-21 13:46 标题: 回复 1#小老虎他爸的帖子

严重怀疑是用换元法,但无处下嘴,请高人指点.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2010-6-21 15:23 标题: 解法来了

这么高次的多项式，用换元的确是好方法。
先设x-1=a,
原式=6a4+(a+1)(2a+1)(3a-1)(4a-1) 再设1/a=b，即ab=1
=6a4+a4(1+b)(2+b)(3-b)(4-b) (这是关键！)
=a4 [ 6 + (b+1)(b+2)(b-3)(b-4) ] = a4 [(b2-2b-3)(b2-2b-8)+6]
=a4(b2-2b-5)(b2-2b-6) (重大进展）
= a2(b2-2b-5)*a2(b2-2b-6)
=(1-2a-5a2)(1-2a-6a2)
=(5a2+2a-1)(6a2+2a-1)
已经分解成因式了。.

作者: 老姜 时间: 2010-6-21 15:50

上面的解法，第一次换元势在必行，第二次换元，则把简单的事情搞复杂了。

[attach]519144[/attach].

作者: 小老虎他爸 时间: 2010-6-21 16:18 标题: 回复 4#老姜的帖子

醍醐灌顶！这道题应该是本次作业中最难的一道了吧？小老虎是强拆后验算通过的。我直观感觉虽然答案是对的，做法肯定是不对的，应该是换元，但解到您第2步就下不去了，小老虎那个幸灾乐祸啊，我那个没面子啊。。。。。。
回去以后，先坚定地告诉小老虎用换元，看他能不能解下去！（没有您这正解，不敢坚定啊，呵呵）
BTW，您老人家的龙体如何了？听说后思量着那是多种情况都可能导致的，不便问安啊，嘻嘻。不过说解法嘛，建议不要到医院让他们捣糨糊，不如找个盲人几次便好。

[ 本帖最后由小老虎他爸于 2010-6-21 16:35 编辑 ].

作者: 老姜 时间: 2010-6-21 16:38

引用:

原帖由 小老虎他爸 于 2010-6-21 16:18 发表 $\"\"$
醍醐灌顶！这道题应该是本次作业中最难的一道了吧？小老虎是强拆后验算通过的。我直观感觉虽然答案是对的，做法肯定是不对的，应该是换元，但解到您第2步就下不去了，小老虎那个幸灾乐祸啊，我那个没面子啊。。。。。 ...

今天去医院拍了片子，幸无大碍，现正遵医嘱静卧于床，内心跌宕起伏。适逢学校期末考试，所有的监考、阅卷工作，都由同事相帮做了。这在万恶的旧社会是无法想象的，还是新社会好啊。

又：在床上上网，比在写字台前爽多了。

[ 本帖最后由老姜于 2010-6-21 17:00 编辑 ].

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2010-6-21 16:42 标题: 回复 4#老姜的帖子

惊动了老姜，不安中，呵呵。
你的方法自然简洁优美,直接操作（a+1)(2a+1)(3a-1)(4a-1)。

只是我喜欢未知数的系数为1，即喜欢看到（b+1)(b+2)(b-3)(b-4)这样的形式。提取a^4也不难想到。
对孩子来说，未知数系数为1，比较容易分解。比如你把8y^2拆成5y^2+3y^2两项,我觉得对小孩来说也有一定难度。.

作者: 小老虎他爸 时间: 2010-6-21 16:43

引用:

原帖由老姜于 2010-6-21 16:38 发表 $\"\"$

今天去医院拍了片子，幸无大碍，现正遵医嘱静卧于床，内心跌宕起伏。学校适逢期末考试，所有的监考、阅卷事情都由同事相帮做了。这在万恶的旧社会是不堪想象的，还是新社会好啊。

又：在床上上网，比在写字台 ...

恩，床就是让人爽的地方啊，尤其是上网，哈哈。盼早日康复，再出题目让我们脑震荡。.

作者: 小老虎他爸 时间: 2010-6-21 16:50 标题: 回复 7#冬瓜爸爸的帖子

感谢冬瓜爸爸的热心解答，也是不错的思路哦.

作者: 老姜 时间: 2010-6-21 16:56

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-6-21 16:42 发表 $\"\"$
惊动了老姜，不安中，呵呵。
你的方法自然简洁优美,直接操作（a+1)(2a+1)(3a-1)(4a-1)。

只是我喜欢未知数的系数为1，即喜欢看到（b+1)(b+2)(b-3)(b-4)这样的形式。提取a^4也不难想到。
对孩子来说，未知数系数 ...

诚如小老虎爸爸所言，冬瓜爸爸的方法是非常有技巧的，有技巧的东西总是令人赏心悦目。.

作者: 老姜 时间: 2010-6-21 16:58

引用:

原帖由 小老虎他爸 于 2010-6-21 16:18 发表 $\"\"$
醍醐灌顶！这道题应该是本次作业中最难的一道了吧？小老虎是强拆后验算通过的。我直观感觉虽然答案是对的，做法肯定是不对的，应该是换元，但解到您第2步就下不去了，小老虎那个幸灾乐祸啊，我那个没面子啊。。。。。 ...

这是我给小老虎做的题目吗？我一开始竟然还没发现啊！

作者: GerryBB 时间: 2010-6-21 19:32 标题: 回复 6#老姜的帖子

啊哟，老姜住病房养生啦？！
难怪，好几周没见了，呵呵。

严重么？
悄悄地问你，咋回事？晚上翻墙头，摔的？！

[ 本帖最后由 GerryBB 于 2010-6-21 19:33 编辑 ].

作者: 老姜 时间: 2010-6-22 06:55

引用:

原帖由 GerryBB 于 2010-6-21 19:32 发表 $\"\"$
啊哟，老姜住病房养生啦？！
难怪，好几周没见了，呵呵。

严重么？
悄悄地问你，咋回事？晚上翻墙头，摔的？！

老派还没发现我，别声张！.

作者: Jennierunrun 时间: 2010-6-22 16:49 标题: 回复 6#老姜的帖子

我家小M也在床上躺着呢。已经躺了2个礼拜了，据说还要继续躺2个礼拜。才古啊，只好平躺，望望天花板。估计您比他幸福多了，还可以上上网。.

作者: 小老虎他爸 时间: 2010-6-24 09:30

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-6-21 16:42 发表 $\"\"$
惊动了老姜，不安中，呵呵。
你的方法自然简洁优美,直接操作（a+1)(2a+1)(3a-1)(4a-1)。

只是我喜欢未知数的系数为1，即喜欢看到（b+1)(b+2)(b-3)(b-4)这样的形式。提取a^4也不难想到。
对孩子来说，未知数系数 ...

小老虎的做法，估计这比较符合孩子们的思维：
令x-1=a,
原式=6a4+(a+1)(2a+1)(3a-1)(4a-1)=6a4+(3a2+2a-1)(8a2+2a-1)
再令2a-1=b,
原式=6a4+(3a2+b)(8a2+b)=30a4+11a2b+b2=(5a2+b)(6a2+b)
显然已殊途同归了。我跟他说你那个再令B=2A-1，有点脱了什么放什么的意味，但他拒绝接受，说这样他觉得“自然”，看来这种就比较符合小孩子了，呵呵.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2010-6-24 16:24 标题: 回复 15#小老虎他爸的帖子

你这个换元倒也不错，耳目一新。
面对同样的整式时，老姜的方法是把3a2+2a-1看成一个整体，而把8a2拆成5+3。
而你的方法是把2a-1看成一个整体，也能简化表达式。令人开阔思路。

我抛一题，看看你家小老虎怎么分解因式的
x^10+x^5+1.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2010-6-25 07:42 标题: 回复 16#冬瓜爸爸的帖子

小老虎光顾着看球了吗？.

作者: 小老虎他爸 时间: 2010-6-25 10:04 标题: 回复 16#冬瓜爸爸的帖子

好，我今天晚上让他试试。您能把答案先告诉我吗？免得他做后问我对不对我又无言以对，呵呵.

作者: 小老虎他爸 时间: 2010-6-25 10:08

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-6-25 07:42 发表 $\"\"$
小老虎光顾着看球了吗？

呵呵，看起来您对我们家老虎很熟悉啊，兄弟哪位？

昨天考完试后就宣布不但要看球，而且可以熬夜看球了。11点钟我出来一看，已经在沙发上睡着了，典型的伪球迷一个！哈哈.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2010-6-25 10:34 标题: 回复 19#小老虎他爸的帖子

你孩子我不熟。我也是一位家长。你孩子是6年级吗？
我孩子也看球，但我不让他熬夜看球。
对他来说，睡眠比没有中国队的足球比赛重要。.

作者: 小老虎他爸 时间: 2010-6-25 13:04 标题: 回复 20#冬瓜爸爸的帖子

5升6，以后多指教，不光是学习，还有让孩子不熬夜看球，呵呵。

另您出的那道题的答案贴一下好吗？谢谢.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2010-6-25 14:01 标题: 回复 21#小老虎他爸的帖子

x10+x5+1 = x10+x9+x8 -x9-x8-x7 +x7+x6+x5 -x6+1
=x8(x2+x+1)-x7(x2+x+1)+x5(x2+x+1)-(x3+1)(x3-1)
=(x2+x+1)[x8-x7+x5-(x3+1)(x-1)]
我不知道你孩子这么小，这题给你孩子做可能不合适。
就你1楼问的那题对他也过难了。.

作者: 小老虎他爸 时间: 2010-6-25 16:03

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-6-25 14:01 发表 $\"\"$
x10+x5+1 = x10+x9+x8 -x9-x8-x7 +x7+x6+x5 -x6+1
=x8(x2+x+1)-x7(x2+x+1)+x5(x2+x+1)-(x3+1)(x3-1)
=(x2+x+1)[x8-x7+x5-(x3+1)(x-1)]
我不知道你孩子这么小，这题给你孩子做可能不合适。
就你1楼问的那题对他 ...

好象错了，最后一部分无公因式（X2+X+1），无法提取。这中拆项我试过，还一直写到了987654321次，最后一项卡壳
好象此题在有理数范围内（指数为整数）的情况下是无法分解了。如果硬分，您看看是否可以这样：
x10+x5+1=X10+2X5+1-X5=（X5+1）2-X5=（X5+1+X5/2）（X5+1-X5/2）

[ 本帖最后由小老虎他爸于 2010-6-25 16:09 编辑 ].

作者: 老姜 时间: 2010-6-25 16:34

引用:

原帖由 小老虎他爸 于 2010-6-25 16:03 发表 $\"\"$

好象错了，最后一部分无公因式（X2+X+1），无法提取。这中拆项我试过，还一直写到了987654321次，最后一项卡壳
好象此题在有理数范围内（指数为整数）的情况下是无法分解了。如果硬分，您看看是否可以这样：
x ...

1，x3-1里有。
2，分解因式是在有理式范围内进行的，你出现了无理式。.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2010-6-25 16:36 标题: 回复 24#老姜的帖子

谢谢老姜。
我刚想回他，一刷屏，你已经回过了。这种喜悦好享受。.

作者: 老姜 时间: 2010-6-25 16:39

x10+x5+1=(x10-x)+(x5-x2)+(x2+x+1)，这样项拆得少一点。.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2010-6-25 16:39 标题: 23楼的解法，居然有出处！

http://zhidao.baidu.com/question/9714228.html
老姜，逗你一笑。.

作者: 老姜 时间: 2010-6-25 16:41

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-6-25 16:36 发表 $\"\"$
谢谢老姜。
我刚想回他，一刷屏，你已经回过了。这种喜悦好享受。

说谢谢，就言重了。大家都是对数学有兴趣的人，就多谈谈。.

作者: 老姜 时间: 2010-6-25 16:56

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-6-25 16:39 发表 $\"\"$
http://zhidao.baidu.com/question/9714228.html
老姜，逗你一笑。

网上有100个正确的答案，就有100个错误的答案。这句话果然深刻。.

作者: 小老虎他爸 时间: 2010-6-25 17:00

引用:

原帖由老姜于 2010-6-25 16:34 发表 $\"\"$

1，x3-1里有。
2，分解因式是在有理式范围内进行的，你出现了无理式。

明白了，牛的。特别是你在下个贴里的拆法，让俺心眩，哈哈.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2010-6-25 17:52 标题: 回复 11#老姜的帖子

老姜，这个孩子秋天才升6，你教的孩子5年级就学这么深，不得了。难道现在的小牛蛙都这么厉害吗。.

作者: 老姜 时间: 2010-6-26 12:34

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-6-25 17:52 发表 $\"\"$
老姜，这个孩子秋天才升6，你教的孩子5年级就学这么深，不得了。难道现在的小牛蛙都这么厉害吗。

耳听为虚，眼见为实。不由得不信啊。.

作者: 老姜 时间: 2010-6-26 12:36

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-6-25 14:01 发表 $\"\"$
x10+x5+1 = x10+x9+x8 -x9-x8-x7 +x7+x6+x5 -x6+1
=x8(x2+x+1)-x7(x2+x+1)+x5(x2+x+1)-(x3+1)(x3-1)
=(x2+x+1)[x8-x7+x5-(x3+1)(x-1)]
我不知道你孩子这么小，这题给你孩子做可能不合适。
就你1楼问的那题对他 ...

从严格意义上说，[x8-x7+x5-(x3+1)(x-1)]为什么在实数范围内不能分解了？这是一个问题。.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2010-6-26 17:08 标题: f(x)=x8-x7+x5-x4+x3-x+1 在实数范围内的分解问题（难住了）

1。我只能猜测（我找不到证明的方法），f(x)在实数范围内没有一次因式。理由：无法找到一个值a，使得f(a)<0. 而f(0)>0.
2。不知道有什么办法判定f(x)无2次因式，3次因式，4次因式。.

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