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标题: [数学] 求助数学题 [打印本页]

作者: mayflower 时间: 2009-10-31 11:44 标题: 求助数学题

某班在课堂上进行计算游戏，老师首先在黑板上写一个大于2000小于3000的整数。第一个学生将老师写的数减1然后乘以3/4，将结果写在黑板上；第二个学生再将第一个学生的结果减1并乘以3/4，再写到黑板上，。。。。。。。以此类推，全部写完后发现前5个学生写的数都是整数，那么第五个学生在黑板上写的数是几？

作者: junhuayang2005 时间: 2009-10-31 12:34

几年级的题目？
做法应该是不同的。.

作者: mayflower 时间: 2009-10-31 21:02 标题: 回复 2#junhuayang2005 的帖子

预初练习题，老师的方法就是硬凑，自认为不是很理想，请高手提供最佳解题思路

作者: 聪明的牛牛 时间: 2009-10-31 21:58 标题: 回复 1#mayflower 的帖子

解：假设五个数分别为：a1,a2,a3,a4,a5。从最后想起，（a4-1）*3/4=a5可知，（a4-1）整除3/4，由于三是分子，可以不考虑。由上得知，a4同余1（mod4）。同理，a3，a2，a1全是同余1（mod4）。
假设a5=1则a1为1364（将一提出来）/243（3的五次），为五又149/243
要a1为整数，a5必须为243的倍数
若a5为243，a1为1364。小于2000 不成立
若a5为486，a1为2728。成立
若a5为729，a1为4092。大于3000 不成立
……
由于前面把“一”提了四次，未乘3/4，所以再拿486-4*3/4=483
解：a5为483

[ 本帖最后由聪明的牛牛于 2009-11-1 08:26 编辑 ].

作者: 拿细耳人 时间: 2009-10-31 22:14 标题: 回复 4#聪明的牛牛的帖子

佩服佩服旺网上真是卧虎藏龙之地绝对高智商

作者: zhenai 时间: 2009-10-31 22:18

设原数为a，则
第一个数为(a-1)*3/4

将原数a加3，再乘以3/4则
(a+3)*3/4 = (a-1+4)*3/4 = (a-1)*3/4 + 3
即第一个数加3。这个过程可以重复5次，即
(a+3)*(3/4)^5
是一个整数。则a+3为4^5=1024的倍数
a=2048-3
第五个数是
2048*(3/4)^5 - 3 = 483.

作者: 聪明的牛牛 时间: 2009-11-1 08:50 标题: 回复 5#拿细耳人的帖子

因为儿子也是预初的，所以看到题目就让他也做做，你看还做错了，真正厉害的是6楼，方法简洁明了，我让儿子好好学习。老师对小家伙的作业评价原话：解题有一定思路，但不缜密，很多想法太简单。一针见血伐。

作者: begme 时间: 2009-11-1 11:22

学习了.

作者: mayflower 时间: 2009-11-1 13:25 标题: 回复 6#zhenai 的帖子

谢谢！

突破口---------要想到加3

有啥讲法嘛？为什么要加3

[ 本帖最后由 mayflower 于 2009-11-1 13:54 编辑 ].

作者: mayflower 时间: 2009-11-1 13:26

引用:

原帖由 聪明的牛牛 于 2009-10-31 21:58 发表 $\"\"$
解：假设五个数分别为：a1,a2,a3,a4,a5。从最后想起，（a4-1）*3/4=a5可知，（a4-1）整除3/4，由于三是分子，可以不考虑。由上得知，a4同余1（mod4）。同理，a3，a2，a1全是同余1（mod4）。
假设a5=1则a1为1364（将 ...

很厉害！

作者: 丞丞宝宝妈妈 时间: 2009-11-1 14:45

聪明.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2009-11-22 10:29 标题: 回复 9#mayflower 的帖子

我来给你回答：为什么要加3，怎么想到要加3呢？
当递推公式是4a5=3a4-3这样的形式时，可用待定系数法构造一个新的等比数列。6楼只不过留了一手，没把关键处点破罢了。
既然6楼不讲，我也不跟你讲透了。问个普通的高中生就能理解为什么要加3了。.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2009-11-22 10:38 标题: 回复 4#聪明的牛牛的帖子

你这个方法看起来好复杂。我怕怕....
不过你还是个预初学生，想出这个方法，很厉害。表扬！
（原先的帖子不满意，改过.）

[ 本帖最后由冬瓜爸爸于 2009-11-24 08:33 编辑 ].

作者: 小老虎他爸 时间: 2009-11-23 09:57

引用:

原帖由 聪明的牛牛 于 2009-11-1 08:50 发表 $\"\"$
因为儿子也是预初的，所以看到题目就让他也做做，你看还做错了，真正厉害的是6楼，方法简洁明了，我让儿子好好学习。老师对小家伙的作业评价原话：解题有一定思路，但不缜密，很多想法太简单。一针见血伐。

这个。。。。。，好象不是预初的题目吧？猴子分桃----4年级的题目

4的5次方=1024，因为数字在2000-3000之间，所以要乘2。所以第5个数是3的5次方乘以2再减3，即：3^5X2-3=483

这道题好！回去让儿子做做这道题，一来看他发不发现的了这是猴子分桃分西瓜的变种，二来看他复习复习这种题，别又忘了

[ 本帖最后由小老虎他爸于 2009-11-23 10:09 编辑 ].

作者: 小老虎他爸 时间: 2009-11-23 11:41

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2009-11-22 10:29 发表 $\"\"$
我来给你回答：为什么要加3，怎么想到要加3呢？
当递推公式是4a5=3a4-3这样的形式时，可用待定系数法构造一个新的等比数列。6楼只不过留了一手，没把关键处点破罢了。
既然6楼不讲，我也不跟你讲透了。问个普通的高 ...

呵呵，我来试一下能否讲透吧：不需要普通高中生，小学生接触过猴子分西瓜就能理解，比4少1，则加上（补上）3就是一样的道理，其实就是要补得让它能被4整除。

[ 本帖最后由小老虎他爸于 2009-11-23 12:13 编辑 ].

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2009-11-23 16:37 标题: 回复 15#小老虎他爸的帖子

哈哈，分西瓜，真是不错. 不过我还是对你的补数法不很理解，能不能再用一下你的分西瓜解法,还做这题;
老师写一个大于2000小于3000的整数, 第一个学生将此数减2后乘以3/4, 结果写在黑板上.
第二个同学将第一个学生的结果减2后乘以3/4,....., 最后第5个学生写的结果还是整数,问第5个同学写的数是多少?

这次我应该补2是吗，下面怎么算

[ 本帖最后由冬瓜爸爸于 2009-11-24 08:28 编辑 ].

作者: 聪明的牛牛 时间: 2009-11-23 20:15

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2009-11-22 10:38 发表 $\"\"$
牛牛，你是初中生，还是初中生家长？或者你是高中生？
你这个方法看起来好复杂。我怕怕....

如果你是学生，没念过高中，那你想出这个方法，很厉害。
如果你是学生，念过高中，那你还用这么个方法，需要批评。
...

看帖不仔细，没有那么多如果，就是牛牛，一个预初生做的。

[ 本帖最后由聪明的牛牛于 2009-11-23 20:27 编辑 ].

作者: 苏东波 时间: 2009-11-23 23:03

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2009-11-22 10:38 发表 $\"\"$
牛牛，你是初中生，还是初中生家长？或者你是高中生？
你这个方法看起来好复杂。我怕怕....

如果你是学生，没念过高中，那你想出这个方法，很厉害。
如果你是学生，念过高中，那你还用这么个方法，需要批评。
...

家长学过忘了也很正常啊，值得说吗？你中学学的东西都记得吗？.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2009-11-24 08:24 标题: 回复 18#苏东波的帖子

我诚恳接受您的批评。多谢你的指点。
我发现我的帖子多刻薄，这样很不好，不利于论坛的讨论风气，我改正。
我现在就把16楼里的刻薄话语给改了去。

再次感谢你批评指点。谢谢苏东坡。.

作者: ·吉祥· 时间: 2009-11-24 09:39

提示: 该帖被自动屏蔽

作者: ·吉祥· 时间: 2009-11-24 09:43 标题: 回复 16#冬瓜爸爸的帖子

提示: 该帖被自动屏蔽

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2009-11-24 10:25 标题: 回复 21#·吉祥· 的帖子

正确答案当然是补6（否则我出16楼的题干什么），但怎么不补2了呢。
按补齐4的倍数来考虑，应该补2呀。
那如果这题再变成每次减3再乘3/4呢，补几个呀？还有规律吗？
所以我前面说，这里用待定系数法来确定补几，你非说小四的人都会，我无语。.

作者: 小老虎他爸 时间: 2009-11-24 12:56 标题: 回复 22#冬瓜爸爸的帖子

呵呵，不好意思，上午开会。把昨晚让孩子做后想的几句话说一下吧：
1、如果把这道题的3/4改为4/5，其余不变，您的孩子能在2分钟之内做出来，那么恭喜您，你的孩子基本掌握了方法。
2、如果把这道题的的每次拿1个变为拿2个，其余不变，您的孩子能在2分钟之内做出来，那么恭喜您，您的孩子在基本吃透了该题在小学阶段的方法，小学竞赛中再出现这类题目应该没问题了。
3、如果把这道题的3/4改为3/6，其余不变，您的孩子能做出来，并且说出假如改成3/5就不可能，那么恭喜您，您的孩子有初中水平了
4、如果把这道题的4改成5，1改成2，您的孩子也能做出来，那么恭喜您，以后不管是哪国的猴子、每次拿几个、剩下几堆给别人分，您的孩子都无往而不胜
其实关键在补几，可能没说透，才让人以为是简单的补成能被堆数除的那个数.

作者: 小老虎他爸 时间: 2009-11-24 13:01

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2009-11-24 10:25 发表 $\"\"$
正确答案当然是补6（否则我出16楼的题干什么），但怎么不补2了呢。
按补齐4的倍数来考虑，应该补2呀。
那如果这题再变成每次减3再乘3/4呢，补几个呀？还有规律吗？
所以我前面说，这里用待定系数法来确定补几，你 ...

顺便回答您一下，应该补9，您看对吗.

作者: 小老虎他爸 时间: 2009-11-24 13:38

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2009-11-24 10:25 发表 $\"\"$
正确答案当然是补6（否则我出16楼的题干什么），但怎么不补2了呢。
按补齐4的倍数来考虑，应该补2呀。
那如果这题再变成每次减3再乘3/4呢，补几个呀？还有规律吗？
所以我前面说，这里用待定系数法来确定补几，你 ...

另外昨天晚上的确跟孩子确认了一下，是三升四的暑假在科学会堂刘老师的某节课学的，您不相信我也没办法。

不过挺沮丧的，昨晚孩子马上就说这是猴子分西瓜的问题（这点比我强），也关注到了1024必须再乘2，但是乱补一气，显然他当时是只知其然不知其所以然，凭记忆乱来，所以我很沮丧，批评归批评，但还是要跟他讲。但限于他目前的水平，只讲到每次分一堆，但可以拿N个的程度，建议旺旺上的BBMM也只讲到这里，因为再往上讲是没有必要的，不可能考到那个程度.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2009-11-24 14:13 标题: 回复 24#小老虎他爸的帖子

是应该补9，你答对了。：）
但我的问题是：你（或你的孩子），是用什么方法，算出来，补9的？.

作者: 小老虎他爸 时间: 2009-11-24 14:37 标题: 回复 26#冬瓜爸爸的帖子

呵呵，谢谢您确认我们的答案是对的，您的后续问题是要考俺爷俩还是要启发我们啊。您都已经在第四个层次了（您前贴所言的递归正是“不管不管是哪国的猴子、每次拿几个、剩下几堆给别人分”的通解方法，方法比较复杂，但结论的形式很简单），就别考俺这第二个层面的问题了。.

作者: 冬瓜爸爸 时间: 2009-11-24 15:06 标题: 回复 27#小老虎他爸的帖子

真是不打不相识，我知道你会做这类题，我哪里是要考你们，我是要问你们如何能用分西瓜分的方法得出补6和补9来啊。
我的目标是要跟孩子讲解这题，如果他问我为什么拿1就要补3，我讲，因为要凑满4。这样不是害了小孩嘛。所以我才问，拿2要补几？拿3要补几？这里凑满4的倍数是不行的呀。
反正我到现在还不明白，分西瓜法怎么就能看出，拿3就要补9来。//郁闷
你在25楼说你孩子“乱补一气”倒正说明他是个正常的小孩，他要是小小年纪能看出来拿3就要补9，我反而觉得奇怪了。.

作者: mayflower 时间: 2009-11-24 15:07

引用:

原帖由 小老虎他爸 于 2009-11-24 12:56 发表 $\"\"$
呵呵，不好意思，上午开会。把昨晚让孩子做后想的几句话说一下吧：
1、如果把这道题的3/4改为4/5，其余不变，您的孩子能在2分钟之内做出来，那么恭喜您，你的孩子基本掌握了方法。
2、如果把这道题的的每次拿1个变 ...

如果还是这道题，什么也不改，在20分钟内都没有做出来，那是不是就要撞墙去了；？

一大段排比，越看越心惊肉跳！
我现在4年级的水平还不到呀！

作者: mayflower 时间: 2009-11-24 15:09

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2009-11-24 15:06 发表 $\"\"$
真是不打不相识，我知道你会做这类题，我哪里是要考你们，我是要问你们如何能用分西瓜分的方法得出补6和补9来啊。
我的目标是要跟孩子讲解这题，如果他问我为什么拿1就要补3，我讲，因为要凑满4。这样不是害了小孩嘛 ...

那就好人做到底，无私奉献一下，为什么要补3？
让我也趁机补补脑子？

作者: zhenai 时间: 2009-11-24 15:32

画个图，很容易看出来补几的。
×｜〇〇〇
×｜×××
×｜×××
×｜×××
×｜×××
………………
减1然后乘以3/4，就是取右边３列×，补３个〇就可以只乘以3/4了。

为什么拿3就要补9呢？因为要这样画
×｜〇〇〇
×｜〇〇〇
×｜〇〇〇
×｜×××
×｜×××
×｜×××
×｜×××
………………
而不能这样画
×｜××〇
×｜×××
×｜×××
×｜×××
×｜×××
……………….

作者: 小老虎他爸 时间: 2009-11-24 15:38 标题: 回复 31#zhenai 的帖子

呵呵，在写报告，没仔细看您的图。不过一看图样大致就OK了，小学阶段就是这个方法

BTW，这个方法似乎对每次拿N个后取走一堆好弄，一次取走多堆就不好弄了，如果您有好的方法，望不吝赐教，谢谢！.

作者: 小老虎他爸 时间: 2009-11-24 15:46

引用:

原帖由 小老虎他爸 于 2009-11-24 15:38 发表 $\"\"$
呵呵，在写报告，没仔细看您的图。不过一看图样大致就OK了，小学阶段就是这个方法

BTW，这个方法似乎对每次拿N个后取走一堆好弄，一次取走多堆就不好弄了，如果您有好的方法，望不吝赐教，谢谢！

想起来说一句：除了用画图法外，也可以跟孩子讲一下补的这个数必须满足的数学条件，不过建议还是用zhenai 的画图法吧，小孩好理解.

作者: zhenai 时间: 2009-11-24 16:11 标题: 回复 32#小老虎他爸的帖子

只要拿Ｎ个是取走堆数的倍数就ＯＫ了。比如减４然后乘以３／５应该这样画

××｜〇〇〇
××｜〇〇〇
××｜×××
××｜×××
××｜×××
××｜×××
……………….

作者: 小老虎他爸 时间: 2009-11-24 16:23

引用:

原帖由 zhenai 于 2009-11-24 16:11 发表 $\"\"$
只要拿Ｎ个是取走堆数的倍数就ＯＫ了。比如减４然后乘以３／５应该这样画

××｜〇〇〇
××｜〇〇〇
××｜×××
××｜×××
××｜×××
××｜×××
………………

可能您的条件是必要的，但不充分，试举一例证之：
假如共分6堆，每次拿3个，且每次取走2堆，那么3不是2的整倍数，这个方法就不好用了。
BTW，这个时候应该补6，不过这已经脱离小学生理解的阶段了，没有必要再深入了，正如我在25楼说过的，反正小学竞赛肯定考不到拿多堆的，给孩子讲就是折磨他，不讲也罢，呵呵

[ 本帖最后由小老虎他爸于 2009-11-24 16:48 编辑 ].

作者: zhenai 时间: 2009-11-24 22:11

引用:

原帖由 小老虎他爸 于 2009-11-24 16:23 发表 $\"\"$

可能您的条件是必要的，但不充分，试举一例证之：
假如共分6堆，每次拿3个，且每次取走2堆，那么3不是2的整倍数，这个方法就不好用了。
BTW，这个时候应该补6，不过这已经脱离小学生理解的阶段了，没有必要再 ...

您能找到一个整数a，使得
((a-3)*2/6-3)/6
也是整数吗？.

作者: 小老虎他爸 时间: 2009-11-25 08:59 标题: 回复 36#zhenai 的帖子

可以找到无限多的a，满足您这个式子，例如：最小的一个大于0的整数是a=30

不过我不大理解您的这个式子和我举的例子有何关联，在我举的那个例子中，满足条件的最小的数是7770，而6^5=7776，所以补6应该是正确的啊？
可以对7770做一次本无必要的验证：每次剩下的是5178、3450、2298、1530、1018，5个同学写完了之后就再也不可能了.

作者: zhenai 时间: 2009-11-25 09:21 标题: 回复 37#小老虎他爸的帖子

搞错了，应该是
((a-3)*4/6-3)/6
能是整数吗？

分成6堆时已经不是整数了。
实际上符合题意最小的数是237。
按照俺的方法一样可以把这道题画出来。

[ 本帖最后由 zhenai 于 2009-11-25 09:37 编辑 ].

作者: 小老虎他爸 时间: 2009-11-25 10:18

引用:

原帖由 zhenai 于 2009-11-25 09:21 发表 $\"\"$
搞错了，应该是
((a-3)*4/6-3)/6
能是整数吗？

分成6堆时已经不是整数了。
实际上符合题意最小的数是237。
按照俺的方法一样可以把这道题画出来。

恩，这下就不可能存在满足式子的整数a了。
我也搞错了，因为2/6=1/3，所以这个时候虽然还是补6，但不是6^5-6=7770了，而是3^5-6=237，和你的答案一致。谢谢提醒指正。
另外，仔细看了一下，我的画图法和您有点不同，而且我并不完全理解您的图中叉叉和圈圈的含义，比较愚钝，望赐教。
最后，如果题目中3/4改为3/5，其余不变（即减1，乘以3/5），还有解吗？.

作者: zhenai 时间: 2009-11-25 11:01 标题: 回复 39#小老虎他爸的帖子

叉叉是原来的数，圈圈就是要补的数呀。
俺说过拿Ｎ个是取走堆数的倍数就可以圈圈叉叉了。
如果是减1，乘以3/5，就不适合圈圈叉叉了。

作者: 小老虎他爸 时间: 2009-11-25 11:28

引用:

原帖由 zhenai 于 2009-11-25 11:01 发表 $\"\"$
叉叉是原来的数，圈圈就是要补的数呀。
俺说过拿Ｎ个是取走堆数的倍数就可以圈圈叉叉了。
如果是减1，乘以3/5，就不适合圈圈叉叉了。

哦，理解了，不错

BTW，不用汗，那种情况用数学方法推出来也是无解的，显然您是牛人。呵呵

[ 本帖最后由小老虎他爸于 2009-11-25 12:05 编辑 ].

作者: 闪电侠的妈妈 时间: 2009-11-28 09:36

难怪现在孩子要跳楼啊，看到这种题目，我死的心也有啦.

作者: 紫玉 时间: 2009-11-28 09:55

哈哈不要死啊我比你更惨啥都不会。看了还是不会的说。不过孩子估计能看懂。其实主要不还是孩子自己吗。
另外说下感觉这里几个发帖子的ID名字都很牛的说。（苏东坡，聪明。。闪电。。老虎。。。）（不包括我啊）
哈哈

[ 本帖最后由紫玉于 2009-11-28 09:59 编辑 ].

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