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标题: [数学] 2009-8-20 初三 [打印本页]

作者: 老猫 时间: 2009-8-20 21:02 标题: 2009-8-20 初三

平面上有六条曲线，其中任何五条都过同一点，但是任意两条的交点不超过三个。求证：这六点交于同一点。.

作者: 童爸0928 时间: 2009-8-21 09:25

这里任意两条的交点数不知是指什么，题意有点模糊，求证的结轮是不是六条交于一点
如果是任意两条上和别的线的交点数之和都不超过 3个，那么这题好像比较简单
假设六条不交于一点
现在5条交于一点（说明这5条不平行），第6条交的不是刚才的那个点，
那么有第6条可能和前5条都不平行或者和其中一条平行
那么任意两条交点数都会大于等于3（有些讨论的细节省略）
因此矛盾
因此这六条线交于一点.

作者: greenjyz 时间: 2009-8-21 10:36

“任意两条的交点不超过三个”好像是有点。。。.

作者: xyq2100 时间: 2009-8-21 16:58

题目指的是曲线不是直线，所以一般情况下两条曲线的交点可以是任意多个。
题目可以用反证法加抽屉原则。提示:如果这六条曲线不交于同一点，那么
(1)任何五条过的同一点都不一样，这里有6个不同的点 6*c(5,2)=60
(2)c(6,2)*3=45
45<60故.

作者: 童爸0928 时间: 2009-8-21 17:46

引用:

原帖由 xyq2100 于 2009-8-21 16:58 发表 $\"\"$
题目指的是曲线不是直线，所以一般情况下两条曲线的交点可以是任意多个。
题目可以用反证法加抽屉原则。提示:如果这六条曲线不交于同一点，那么
(1)任何五条过的同一点都不一样，这里有6个不同的点 6*c(5,2)=60
( ...

看错题了，真是糟糕.

作者: greenjyz 时间: 2009-8-22 21:01 标题: 回复 4#xyq2100 的帖子

恩恩有意思!.

作者: 童爸0928 时间: 2009-8-24 09:14

这题好像不用抽屉原理
还是反证法，设这六条线编号为1,2,3,4,5,6
因为五条线过一个点，就是说线1与任意其它4条线都有公共点：(1,2,3,4,5)过一个点，(1,2,3,4,6)过一个点，(1,2,3,5,6)过一个点，(1,2,4,5,6)过一个点，(1,3,4,5,6)过一个点，
而这5个点必定互不相同，若相同，即有六线共点。而5个点不同（都在线1上），已经与线1上的交点不超过3个矛盾，所以得证。.

作者: xyq2100 时间: 2009-8-24 12:16 标题: 回复 7#童爸0928 的帖子

确实童爸的想法更简单，不过线1上的交点可以超过三个，题目的意思是任意两条的交点不超过三个。事实上线1与线2不同的交点>=4个，所以矛盾。.

作者: 童爸0928 时间: 2009-8-24 12:34 标题: 回复 8#xyq2100 的帖子

我题意又理解错了一点，好在思路基本算对。我解题常常是野路子，又闹了点笑话。.

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