旺旺网 - Powered by Discuz! Board

标题: [数学] 2009-7-20 初三 [打印本页]

作者: 老猫 时间: 2009-7-20 21:57 标题: 2009-7-20 初三

在△ABC中，∠A＝2∠B，∠C是钝角。三条边长都是整数，求周长的最小值并给出证明。.

作者: 一叶轻舟 时间: 2009-7-21 08:42 标题: 回复 1#老猫的帖子

用三角来试试:

设三边为a,b,c ( b<a<c)
由正弦定理可知: b / Sin(∠B) = a / Sin(∠A) = a / Sin(2∠B)  = a / 2Sin(∠B)Cos(∠B) ∴a = 2bCos(∠B)
再根据余弦定理: Cos(∠B) = (a^2+c^2-b^2) / 2ac ∴ a = b(a^2+c^2-b^2) / ac    整理得: a^2-b^2=bc ----(1)
又∵∠C是钝角, ∴ a^2 + b^2 < c^2, 结合(1)式可得: c>2b>a>√3b ---- (2)
∵a,b,c ∈N 根据(1)式可知 a^2 / b ∈N,  而2b>a>√3b  ∴b必为完全平方数
验证可知, Min(b) = 16, 此时a = 28, c=33

所以△ABC周长最小值为: 16 + 28 + 33 = 77.

欢迎光临旺旺网 (http://ww123.net/)