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标题: [数学] 2009-3-31 初三 [打印本页]

作者: 老猫 时间: 2009-3-31 21:25 标题: 2009-3-31 初三

今有100枚面值为1、2、3、…、100的硬币，其中有不多于20枚假币，假币的重量不等于其面值。如何利用一台没有砝码的天平确定面值为10的硬币是否真假？.

作者: greenjyz 时间: 2009-4-2 12:52 标题: 回复 1#老猫的帖子

啊。。猫老师又出题啦！
估计此题有多解，咱先贡献一个愚笨解（反正不限称天平次数）：
1、先配对,再互相称重,100+1,99+2,98+3,...因假币不多于20个，故这50对硬币中至少有30对重量是一样的，而且是准确的；
2、再配对，称重：100+2,99+3,,,,(1和51不称),至少有29对重量是一样的，而且是准确的；
3、依次类推到100+9, 99+10，。。。至少有21对重量是一样的，而且是准确的；
4、然后利用重量准确的配对硬币可称出1，2，3，4，。。。9是不是假币；
5、运气好的话，不用到9，譬如1，2，3，4都是真币，那么直接可知10是真是假；
6、运气实在不好，在1-9间有假币，而且真币凑不到10这个数字，再配一次对，100+10, 99+11,...由于1-9间已经有假币，所以仍然有至少不少于21对的重量是一样的，而且是准确的，这样就可以揪出10是真是假了。。。

感觉上，再仔细想想，应该有更简洁的做法。.

作者: greenjyz 时间: 2009-4-2 12:54 标题: 回复 2#greenjyz 的帖子

嗯。。。用不着考虑21？只要至少20对重量一样就行。。。这样到第3步就结束了，多加一个配对100+10.99+11，。。。接下来可直接测出10的真假。.

作者: greenjyz 时间: 2009-4-2 13:30 标题: 回复 3#greenjyz 的帖子

看来不行，到20对不行，如果有20对是一个重量，另外20对是一个重量就麻烦了。.

作者: Gemini 时间: 2009-4-2 15:07

10+1=11
10+2=12
...
10+9=19

10+20=30
10+21=31
...
10+29=39

10+40=50
10+41=51
...
10+49=59

10+60=70
10+61=71
...
10+69=79

10+80=90
10+81=91
...
10+89=99

上述共有49个等式
除了10之外，1~99都用且只用过一次
只要有一次平衡，说明10是真币
若都不平衡，说明每个等式里都至少有一个假币
倘若10是真币，则1~99里至少有49个假币，而这是不可能的
所以10是假币

简单一点，上述49个等式只要用到其中的21个就可以了
至于最少称多少次能保证确定，俺就勿晓得了.

作者: greenjyz 时间: 2009-4-2 15:37 标题: 回复 5#Gemini 的帖子

喔。。明白了，是跳的，是用过一次。。。

[ 本帖最后由 greenjyz 于 2009-4-2 15:41 编辑 ].

作者: greenjyz 时间: 2009-4-2 15:57 标题: 回复 5#Gemini 的帖子

“只要有一次平衡，说明10是真币”这句话还没明白。。。例如，只有10，1和11是假币，10实际上是10.1，1实际上是1.1，11实际上是11.2，会出现10+1=11是平衡的（当然所有其它都是不平衡的）。。。

不过看来这个办法确实是好办法，俺的办法是愚笨法。。。

作者: Gemini 时间: 2009-4-2 20:33

引用:

原帖由 greenjyz 于 2009-4-2 15:57 发表 $\"\"$
“只要有一次平衡，说明10是真币”这句话还没明白。。。例如，只有10，1和11是假币，10实际上是10.1，1实际上是1.1，11实际上是11.2，会出现10+1=11是平衡的（当然所有其它都是不平衡的）。。。

不过看来这个办法 ...

你的提法倒是有可能的

那么就这样来说：

某一硬币，比如10，要么是假币要么是真币

若是假币
则在上述称法中至少有29次是不平衡的
反过来说，至少有29次是不平衡的硬币必是假币
于是就可以把假币捉出来

若是真币
则在上述称法中至少有29次是平衡的
反过来说，至少有29次是平衡的硬币必是真币
于是就可以把真币捉出来

总共49次要么平衡要么不平衡
而至少有29次不平衡与至少有29次平衡是矛盾的
所以存在确定性.

作者: greenjyz 时间: 2009-4-2 21:33 标题: 回复 8#Gemini 的帖子

是滴是滴! 妙哉妙哉!.

作者: 老猫 时间: 2009-4-2 21:39

没有要求最少次数啊。.

作者: greenjyz 时间: 2009-4-2 23:27 标题: 回复 10#老猫的帖子

嗯。。。是滴。。。不过既然Gemini的方法看起来更简洁，是否应该算是“更好”的方法？.

作者: 老猫 时间: 2009-4-3 06:58

恩.

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