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标题: [数学] 求助：五年级奥数题 [打印本页]

作者: Isabel妈 时间: 2009-2-14 09:34 标题: 求助：五年级奥数题

某人要从第一阶楼梯走到第十阶楼梯，他共有三种走法：一次一阶，一次二阶，一次三阶，则他走完这十阶楼梯共有多少种不同走法？
答案是274种
我想求具体的解题步骤。
谢谢。
再求一题解题过程，题目在25楼。谢谢

[ 本帖最后由 Isabel妈于 2009-2-14 21:56 编辑 ].

作者: Isabel妈 时间: 2009-2-14 10:27

先自己顶一下，等能人来帮助.

作者: ccpaging 时间: 2009-2-14 12:14

如果我是老师的话，受课堂时间限制和人数限制，可能只能在黑板上画一个楼梯的俯视图，然后从理解题意入手，逐步归纳出一个排列组合的模型，进而得到计算公式，完成解题。
如果课堂的时间只有5分钟的话，那只能直接给出公式了。
显然，以上2种方式都很无趣。所以，我们不从黑板开始，而是走到楼道里，也许带上一支粉笔，从真正的楼梯开始理解题意。

未完待续、、、

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-14 16:11 编辑 ].

作者: Isabel妈 时间: 2009-2-14 12:42 标题: 回复 3#ccpaging 的帖子

我也是画了一个楼梯图来做的，但总觉得那是笨办法，所以想寻求更好的解题方式.

作者: ccpaging 时间: 2009-2-14 12:56

引用:

原帖由 Isabel妈 于 2009-2-14 12:42 发表 $\"\"$
我也是画了一个楼梯图来做的，但总觉得那是笨办法，所以想寻求更好的解题方式

画图不是笨办法，建议用更“笨”的办法，真正地走一回楼梯。通过亲身体验，去理解那些最基本的概念，变被动接受为主动归纳，学习的效果也会更佳。
在这道题上我们体验过了，以后碰到类似的题目、甚至是碰到其他的难题，都可以借鉴这次体验，以后就不需要如此费时费力地去体验了。当然，体验不只是一种，其他的体验要另说了。
体验的目的是希望能让孩子在楼道里边实验的过程中，自己能讲出题意，找到方法，而极力避免由BBMM或者老师去空洞地解释、讲解。通过体验学习到的东西，一定是自己的东西。

坚持做下去，等您结果、、、

另可移步这里，了解一些正统、有趣的数学研究方法：
http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-14 13:18 编辑 ].

作者: ccpaging 时间: 2009-2-14 16:20 标题: 何为“走一阶，走二阶，走三阶”？

假设有三个人上楼梯：

1、小妹妹，她的人小步子小，一次只能上一个台阶，于是10级抬价要跨10步。
2、小五生，步子大点了，一步可以上二个台阶，于是10级台阶只要跨5步。
3、爸爸看大家在楼道上玩的热闹，耐不住了，也走了一次。爸爸高大多了，一步可以上三个台阶，三步就上了9级台阶。可是笨爸爸在第9级台阶停住了，因为只剩下一级了，他想了想，只好一脸苦相地像小妹妹那样，上了第10级台阶。

大家跑了这么多次楼梯，都有点累了，一起拥进了家里喝水。小五生拿起了铅笔和草稿纸，又开始写写画画了，画的什么呢？请小五生讲给我们听吧。

（小五生要开始讲课了，大家快找沙发坐下、、、）

另：请示楼主，我可以把该贴整理后放入
http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875
吗？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-14 17:56 编辑 ].

作者: Isabel妈 时间: 2009-2-14 19:44 标题: 回复 6#ccpaging 的帖子

谢谢ccpaging老师，可能我题目出的不够严谨，引起你的误解了，我现在重新发了题目，请再帮助考虑。.

作者: ccpaging 时间: 2009-2-14 19:51

引用:

原帖由 Isabel妈 于 2009-2-14 19:44 发表 $\"\"$
谢谢ccpaging老师，可能我题目出的不够严谨，引起你的误解了，我现在重新发了题目，请再帮助考虑。

我不是老师，我是小二淘气男孩的笨爸爸同学。

笨爸爸的脚上有鸡眼
前回讲到小五生若有所思地在草稿上写写画画，在大家喝水的当口，宣布了他的发现：

笨爸爸如果聪明一点的话，就可以发现，他其实有很多种走法，例如：
1+3+3+3，第一步走一级，再分成三步，每步三级。
3+1+3+3，第一步走了三级，有点气喘，第二步走了一级，后面三级一步。
、、、、

大家听了以后都一脸茫然，小妹妹问：”小五哥哥，你在说什么啊？“
为了使大家都明白是怎么回事，小五翻出了妹妹的玩具，有些是红色的方块，比较窄，有些是黑色的方块，长度正好红色方块的三倍，如图摆放。

第一次爸爸走的样子
+----+ +----+ +----+ +-+
第二次爸爸走的样子
+-+ +----+ +----+ +----+
第三次爸爸走的样子
+----+ +-+ +----+ +----+
第四次爸爸走的样子
+----+ +----+ +-+ +----+

小五生总结道：”爸爸有四种走法。“
笨爸爸终于明白过来了，可是爸爸不服气，对小五说到：
”如果在平时，这点步法也算不了什么，我的凌波微步功还没用上呢！但是，今天我脚上鸡眼有一DD痛，也可能一步走二级哦。“
小五当场晕倒：”我怎么把鸡眼给忘了啊？事情有点复杂了，大家请继续喝水，我研究去也。“

未完待续、、、

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-14 20:19 编辑 ].

作者: Isabel妈 时间: 2009-2-14 19:54 标题: 回复 8#ccpaging 的帖子

帮我解题的都是老师

作者: ccpaging 时间: 2009-2-14 20:09

BB、MM、小五，我们都是同学，一起来走一遍数学之旅吧，看似漫无目的的散步才浪漫呢。

楼上MM再次跟小五生研究过这个问题吗？能不能把小五的理解发上来？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-14 20:19 编辑 ].

作者: Jupiter 时间: 2009-2-14 20:25

天哪，274种！
用枚举法只考虑搭配不考虑顺序，一共14种，难道还要在每一种方法上再算一遍排列？

作者: Isabel妈 时间: 2009-2-14 20:29 标题: 回复 10#ccpaging 的帖子

这是小机灵的一道培训题，孩子只记了一个答案回来，怎么得出的不知道呀，所以上来求救.

作者: ccpaging 时间: 2009-2-14 20:48

引用:

原帖由 Isabel妈 于 2009-2-14 20:29 发表 $\"\"$
这是小机灵的一道培训题，孩子只记了一个答案回来，怎么得出的不知道呀，所以上来求救

第一眼看到这题，感觉可能性蛮多了，但是没想到有274种之多。
目前为止，我们还是深一脚浅一脚的在黑暗中摸索，不过，这也比开始茫然不知所措好多了。这是黎明前的黑暗，最黑的一段时间，却已经孕育了希望。

在小五发现笨爸爸的鸡眼发作时，也同时领悟到这道题就是不同步幅之间的排列组合，而且是多种情况下的排列组合。说到排列组合，小五肯定不会陌生的，小一小二我们就计算过:
[attach]254738[/attach]
有多少个三角形？
[attach]254739[/attach]
有多少个长方形？

还记得吗？要注意的是，我们需要的不是这两道题的通项公式，而是当时我们如何推导出通项公式的？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-14 21:01 编辑 ].

作者: ccpaging 时间: 2009-2-14 21:23

都是鸡眼惹的祸

小五生回到了自己房间开始回想刚才的情景，本来以为已经得到答案了，却被笨爸爸的鸡眼困住了。多么令人讨厌的鸡眼啊！

于是，小五生定下心来，决定从小妹妹开始研究。小妹妹的情况是最简单的，只有一种情况，那就是一步一步地走上来。
1

研究到小五生的情况就有一点复杂了，小五可以一步一级，也可以一步二级，例如：
1、可以走1步二级的，余下的一步一级；
2、上面1的情况，还可以随意插在任何位置；
3、也可以走2步二级的，余下的一步一级;

看起来，我们开始的时候必须分情况计算了。
1、只走一次二级步的
+--+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+
这种情况下，一共有9种走法

2、走二次二级步
、、、

小五生开始困惑了，这要走到什么时候啊？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-14 21:29 编辑 ].

作者: Isabel妈 时间: 2009-2-14 21:27 标题: 回复 14#ccpaging 的帖子

感觉开始对路了.

作者: Jupiter 时间: 2009-2-14 21:28 标题: 回复 14#ccpaging 的帖子

ccpaging 你别绕弯子了，小五生做不出来，关键是明天就上战场了，你快点公布方案！
刚才说错了，不管顺序的一共17种走法。

[ 本帖最后由 Jupiter 于 2009-2-14 21:29 编辑 ].

作者: ccpaging 时间: 2009-2-14 21:32 标题: 回复 16#Jupiter 的帖子

我刚发现走错路了，这样走下去，要走到什么时候啊！

小五生噘嘴辩解到：”我是错了。但是”错误“的结果是减肥10斤，跟减肥茶一个道理，蒿？！“

特别不愿意公布答案。其实，只要从楼梯的数量开始递增，就很容易找到答案了。跟我们原来数三角形是一个道理，蒿？！

摘自：http://zhidao.baidu.com/question ... r=qrl&fr2=query
最佳答案
从只有一级时级开始考虑.
共一级时1种,共二级时2种, 共有三级时第一步若迈一级, 则剩下二级, 迈二级, 则剩下一级, 迈三步则正好. 所以共有2+1+ 1= 4种.
按这种方法得到递推公式
S4=S3 + S2 + S1
所以S10=274种.
好多啊, 幸亏没挨个数.

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-14 21:42 编辑 ].

作者: 星月王子 时间: 2009-2-14 21:34 标题: 回复 1#Isabel妈的帖子

枚举楼梯 1 2 3 4 5 ……
种数 1 2 4 7 13 ……
从第四项开始，每一项都是前3项的和，即
1、2、4、7、13、24、44、81、149、274……
第10项即274。故有274种。.

作者: Jupiter 时间: 2009-2-14 21:34 标题: 回复 17#ccpaging 的帖子

作者: Jupiter 时间: 2009-2-14 21:37 标题: 回复 18#星月王子的帖子

作者: Isabel妈 时间: 2009-2-14 21:46 标题: 回复 17#ccpaging 的帖子

懂了，谢谢

作者: Isabel妈 时间: 2009-2-14 21:47 标题: 回复 18#星月王子的帖子

谢谢

作者: 星月王子 时间: 2009-2-14 21:48 标题: 回复 20#Jupiter 的帖子

你没理解我的意思吧？先枚举前几级，找到规律后按规律计算，不是一直枚举的。.

作者: Jupiter 时间: 2009-2-14 21:49 标题: 回复 23#星月王子的帖子

不是不明白，而是太明白，为啥没想到，才去撞墙！.

作者: Isabel妈 时间: 2009-2-14 21:50

再求一题解题过程：
70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0、1、3、8、21、......问最右边一个数被6除余多少？
答案是：4.

作者: chenhao920 时间: 2009-2-14 21:55 标题: 回复 1#Isabel妈的帖子

提示: 该帖被自动屏蔽

作者: Isabel妈 时间: 2009-2-14 22:00 标题: 回复 26#chenhao920 的帖子

解释的非常详细，一目了然，还举一反三，真是太感谢了.

作者: ccpaging 时间: 2009-2-14 22:39

引用:

原帖由 Isabel妈 于 2009-2-14 21:50 发表 $\"\"$
再求一题解题过程：
70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0、1、3、8、21、......问最右边一个数被6除余多少？
答案是：4

关键是理解”每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和“，和余数之间的关系：

因为：前一个数 + 后一个数 = 3 X 当前数
所以：前一个余数 + 后一个余数 = 3 X 当前余数
推论：后一个余数 = 3 X 当前余数 - 前一个数
推论：当前余数 = 3 X 前一个余数 - 再前面一个余数

由此得到余数数列：
0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，…。
已经可以发现循环了，剩下的都没问题了

=====================================================
另，实在是不喜欢这道题，学了代数和数列以后，这道题都会做的。

我是爬楼梯减肥的。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-14 22:47 编辑 ].

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