旺旺网 - Powered by Discuz! Board

标题: [求助] 数学题 [打印本页]

作者: hexiaorong1207 时间: 2009-2-5 11:53 标题: 数学题

求助数学题,题目如下:
求所有的正整组(a,b,c),使得如下三个关于x的二次方程x2-3ax+2b=0,x2-3bx+2c=0,x2-3cx+2a=0的根都是正整数.

作者: hexiaorong1207 时间: 2009-2-5 14:01

顶.

作者: 天天_开心就好 时间: 2009-2-5 15:56

就知道全是1肯定没错.

作者: hexiaorong1207 时间: 2009-2-5 16:39

答案是对的,但怎么求出来的呢?.

作者: greenjyz 时间: 2009-2-5 17:07 标题: 回复 4#hexiaorong1207 的帖子

如果只是求1作为答案之一的话，是容易的，但要证明这是唯一解是头痛的。

其中一组解是：若a=b=c，则根为 [3a+/- sqrt(9a^2-8a)]/2；
即9a^2-8a必为完全平方数，设为u^2；
解a = [4+sqrt(4^2+9*u^2)]/9；
依勾股数定理可知u必等于1，a=1。

但如果a>b>c又如何呢？还没想出来。.

作者: 汉白玉 时间: 2009-2-5 20:52 标题: 回复 1#hexiaorong1207 的帖子

由根与系数的关系
可知x1＋x2＝3a＝3b＝3c
x1×x2＝2a＝2b＝2c
所以a＝b＝c.

作者: jyuntoku 时间: 2009-2-5 21:23 标题: 回复 6#汉白玉的帖子

题目没有讲这3个方程的根一样。.

作者: jyuntoku 时间: 2009-2-5 23:46 标题: 回复 1#hexiaorong1207 的帖子

网上搜来的，本题出自2000年全国初中数学联赛试题。

x^2-3ax+2b=0
△=(-3a)^2-4*2b≥0
因为x是整数,所以设9a^2-8b=s^2
(3a+s)*(3a-s)=8b=1*8b=2*4b=4*2b=8*b
讨论：
1、(3a+s)*(3a-s)=1*8b
3a+s=1......(1)
3a-s=8b......(2)
(1+2)
6a=1+8b
同理可得
6b=1+8c
6c=1+8a
a+b+c<0不符合已知条件
2、(3a+s)*(3a-s)=2*4b
a>0时，3a+s>2
(3a+s)=4b
(3a-s)=2
6a=2+4b
3a=1+2b
3b=1+2c
3c=1+2a
a=b=c=1,x=1,2
3、(3a+s)*(3a-s)=4*2b
3a+s=4
3a-s=2b
3a=2+b
同理可得
3b=2+c
3c=2+a
a=b=c=1,x=1,2
4、(3a+s)*(3a-s)=8*b
3a+s=8
3a-s=b
6a=8+b
6b=8+c
6c=8+a
不是整数,不符合已知条件
答：a=b=c=1,x=1,2

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-2-5 23:49 编辑 ].

作者: xyq2100 时间: 2009-2-6 08:38

由对称性，不妨设a最大，那么2b=x1*x2>=(x1+x2-1)=3a-1 =>2a>=2b>=3a-1
=> a<=1 =>a=1 因此只有a=b=c=1，此时三个方程有正整数解.

作者: 炫炫爸 时间: 2009-2-6 08:50 标题: 仅供参考

答案.

作者: greenjyz 时间: 2009-2-6 09:28

妙啊！！！.

作者: 炫炫爸 时间: 2009-2-6 10:27 标题: 回复 11#greenjyz 的帖子

解这类整数解题目的套路

作者: greenjyz 时间: 2009-2-6 11:29 标题: 回复 12#炫炫爸的帖子

谢啦！学习了！以后做这样的题有方向了！.

作者: hexiaorong1207 时间: 2009-2-6 12:58 标题: 回复 10#炫炫爸的帖子

搞清楚了,如没有做过,很难想到,谢谢帮助!.

作者: 炫炫爸 时间: 2009-2-6 19:33 标题: 回复 14#hexiaorong1207 的帖子

反对题海战术，但一些基本类型的题目还是要了解的，要不然没有基石了。.

欢迎光临旺旺网 (http://ww123.net/)