标题: [数学] 2008-11-12 初一 [打印本页]

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作者: 老猫    时间: 2008-11-12 07:02     标题: 2008-11-12 初一

设p是大于5的质数，求证：240|(p^4-1)..

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作者: echooooo    时间: 2008-11-12 09:44

p是大于5的质数
所以p的末位数只能是1、3、7、9
否则，若p的末位数是偶数，则能被2整除；若p的末位数是5，则能被5整除

p^4-1=（p^2+1)(p+1)(p-1)
1、p大于5的质数，不能被3整除，故p被3除余1或2，
所以(p+1)、(p-1)中有且只有1数能被3整除
有因数3
2、p是大于5的质数，必是奇数，(p+1)、(p-1)是相邻偶数
所以(p+1)、(p-1)中必有1数能被2整除，1数能被4整除
有因数2、4
3、p是大于5的质数，（p^2+1）必是偶数，能被2整除
有因素2
4、p是大于5的质数，
若末位数是1，则(p-1)的末位数是0，能被5整除
若末位数是9，则(p+1)的末位数是0，能被5整除
若末位数是3、7，则（p^2+1）的末位数是0，能被5整除
有因素5

综合上述
(p^4-1).能被3x2x4x2x5=240整除
得证

[ 本帖最后由 echooooo 于 2008-11-12 09:47 编辑 ].

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作者: greenjyz    时间: 2008-11-12 10:35

p的个位数一定是1，3，7或9。其^4的个位数为1，且p^4>10，故10|p^4-1,也即5|p^4-1;
p可表达为2k+1,则p^4-1=(2^3)k(k+1)(2k^2+2k+1),可知2^4|p^4-1;
p也可表达为3n+1或3n+2.
若3n+1: p^4-1=(3n)(3n+2)(9n^2+9n+2);
若3n+2: p^4-1=3(3n+1)(n+1)(9n^2+18n+5).
可知3|p^4-1.
因240=3*5*2^4,故240|p^4-1。.

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