标题: [数学] 2008-7-22 [打印本页]

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作者: 老猫    时间: 2008-7-22 06:57     标题: 2008-7-22

问：在1,0交替出现，且以1为首位和结尾的所有整数（即101,10101,1010101,…）中有多少个质数？说明理由。.

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作者: 一叶轻舟    时间: 2008-7-22 09:03     标题: 回复 1#老猫 的帖子

答: 只有101一个质数

上述的整数可以写成: 1 + 10^2 + 10^4 + ... 10^2(n-1)
(1) 当有偶数个1, 即拆开后有偶数项时(此时, n=偶数)
      显然这些项可以两两组合, 组合后都有共因子(1+10^2), 所以必是合数(101的倍数)

(2) 当有奇数个1, 即拆开后有奇数项时(此时, n=奇数)
      则根据等比数列求和公式可得: 原式 = (10^2n - 1) / (10^2 - 1) =  (10^2n - 1) / 99 = (10^n - 1)( 10^n + 1) / 99
      因为 10^n - 1必是9的倍数, 而10^n + 1当n=奇数时, 也满足被11整除的性质, 即是11的倍数
      所以, 此时, 原数必能拆成两个不同的非1整数: (10^n - 1) / 9 和 ( 10^n + 1)/11的积, 则也必为合数

综合上述, 满足条件的整数中只有101一个质数.

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