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标题: [数学] 求助【环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发……】 [打印本页]

作者: kevinsun 时间: 2008-2-7 22:21 标题: 求助【环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发……】

环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分钟跑120米，乙每分钟跑100米，两人都是每跑200米停下休息1分钟。那么，甲第一次追上乙需要多少分钟？.

作者: 老猫 时间: 2008-2-8 08:41

多跑500米，要多跑25分钟。
在这25分钟里面，两人休息的次数是不一样的。
算出相差几次，然后再算下去。
逐次调整一直到算出来为止。.

作者: 明月星辰 时间: 2008-2-8 21:31 标题: 提个醒

不休息的情况下,甲第一次追上乙,是甲比乙多跑一圈的时候,按这个思路考虑一下啦.

作者: kevinsun 时间: 2008-2-11 09:25

还是做不出来，有谁能帮忙解题啊！
列出解题过程。谢谢啦！！！

作者: joymum 时间: 2008-2-11 17:47 标题: 不知对否

8分钟时，此时两人都跑了600米，甲已在此处休息了1分钟，乙刚跑到。.

作者: judoma 时间: 2008-2-11 20:13

55分钟.

作者: kevinsun 时间: 2008-2-11 20:35 标题: 回复 6#judoma 的帖子

55分钟是如何解出来的呀，给个解题过程好伐？.

作者: judoma 时间: 2008-2-11 21:19

500/200=2......100　　　　　  甲至少比乙多休息２分钟，因为甲比乙多跑５００米。
500+2*100=700                         因为甲在休息时乙还在跑，所以甲比乙多跑700米。
700/（120—100）=35（分）  甲追上乙所需要的时间（甲和乙都不休息）
35*120/200=21（分）       甲休息的时间
21—1=20 （分）          甲最后一次休息是在追上乙时休息的，所以要减去1
35+20=55（分）.

作者: kevinsun 时间: 2008-2-12 08:41 标题: 回复 8#judoma 的帖子

明白了！谢谢judoma详细解题！

作者: 快乐的小鱼 时间: 2008-2-12 12:25

引用:

原帖由 judoma 于 2008-2-11 21:19 发表 $\"\"$
500/200=2......100　　　　　  甲至少比乙多休息２分钟，因为甲比乙多跑５００米。
500+2*100=700                         因为甲在休息时乙还在跑，所以甲比乙多跑700米。
700/（120—100）=35（分）  甲追上 ...

虽然还没想好怎么做，但甲比乙多跑700米这个概念是错的。无论在哪个点追上，甲总是比乙多跑500米。.

作者: 快乐的小鱼 时间: 2008-2-12 13:42

这道题有问题，是不是要强调问甲追上乙，而不是乙去赶上甲？这是初中的寒假作业么？不该有这么复杂的吧？也不知道老师的标准答案是什么。先说说我的解题思路，不知道对你有没有帮助？是不是太复杂或者理解有错，也请各位BBMM指正。
先说说乙追上甲的时间点和次数。刚开始，乙三次追赶上甲。
第一次：甲每分钟跑120米，在花了1.67分钟后，他在200米处准备休息1分钟。仅过了0.33分钟后，乙也已经跑到200米处（因为乙的速度是100米/分钟）。他们相遇，且共同休息0.67分钟。
第二次：他们又在400米处相遇，共同休息0.35分钟
第三次：他们在600米处相遇，但没有共同休息。因为甲跑600米，加上期间休息3次，也就是说他在第7分钟至第八分钟，是在离起点100米处休息（跑了一圈多100米）。而乙跑600米，加上期间休息2次（不算他到达600米处休息的时间），也就是说第八分钟乙刚好赶到甲休息的地方，追上甲。但与此同时，甲开始起跑。
接下来，乙就不可能赶上甲了。
所以我们开始计算甲要花多少时间追上乙？无论乙跑多少圈，甲总比乙多跑一圈，即500米。
首先，算算甲和乙的确切速度：
甲跑600米，需要5分钟，再加上休息3次，也就是说甲每8分钟跑600米，速度是600/8
乙跑600米，需要6分钟，再加上休息3次，也就是说乙每9分钟跑600米，速度是600/9
那么甲多跑的路程500米去除以他们俩的速度差，得出的时间是60分钟。
又因为第60分钟必定是乙正在休息的时间（因为乙每2分钟休息一次，第三分钟以及第三分钟的倍数都是在原地休息）所以甲可能在第59分至第60分钟之间追上乙的。
第一，计算乙在60分钟内跑的路程是200*（60/3）＝4000米，说明甲跑的路程是4500米。
第二，现在算一下甲跑4500米花的时间是不是正好60分钟？甲跑600米花8分钟，跑4200米花56分钟，剩下的300米花的时间是（200/120+1+100/120＝3.5分钟），即甲跑4500米花了59.5分钟。
现在得到答案是甲追上乙需要59.5分钟

唉，累啊，也不知道有没有错

出题的是什么人啊？这两个人在环形跑道上练傻啊？

[ 本帖最后由快乐的小鱼于 2008-2-12 13:53 编辑 ].

作者: kevinsun 时间: 2008-2-12 15:53

老师给的答案是55分钟，谢谢各位的解答！

作者: 快乐的小鱼 时间: 2008-2-12 16:12

引用:

原帖由 kevinsun 于 2008-2-12 15:53 发表 $\"\"$
老师给的答案是55分钟，谢谢各位的解答！

请问老师有没有说如何计算出55分钟的呢？请教.

作者: kevinsun 时间: 2008-2-12 20:59 标题: 回复 13#快乐的小鱼的帖子

老师只给了答案，没有解题过程。我想judoma解题过程是正确的！.

作者: 快乐的小鱼 时间: 2008-2-12 22:12

引用:

原帖由 kevinsun 于 2008-2-12 20:59 发表 $\"\"$
老师只给了答案，没有解题过程。我想judoma解题过程是正确的！

虽然测算了一下55分钟是对的。但对这个解题过程不理解。难道你真的认为甲追上乙的时候，甲比乙多跑700米？！

[ 本帖最后由快乐的小鱼于 2008-2-12 23:45 编辑 ].

作者: springmum 时间: 2008-2-13 00:18 标题: 回复 15#快乐的小鱼的帖子

甲追上乙的时候，甲确实只比乙多行了500米。但是在追的过程中，甲比乙多休息2分钟，相当于甲等着乙多跑了2分钟（200米）再去追，所以，甲追乙的路程是700米而甲比乙多走的路程只有500米。.

作者: 快乐的小鱼 时间: 2008-2-13 10:06

引用:

原帖由 springmum 于 2008-2-13 00:18 发表 $\"\"$
甲追上乙的时候，甲确实只比乙多行了500米。但是在追的过程中，甲比乙多休息2分钟，相当于甲等着乙多跑了2分钟（200米）再去追，所以，甲追乙的路程是700米而甲比乙多走的路程只有500米。

谢谢！我已经想明白了。不过应该是如下解释更容易让小朋友理解：
假设甲奔跑x分钟，乙一定奔跑x+2分钟，那么乙多跑的2分钟内的路程200米，也需要甲在x分钟内追上。所以在x分钟内，甲一定要超出乙700米。所以才有这个式子：700÷（120-100）＝35分钟.

作者: dudu19668 时间: 2008-2-15 09:17

引用:

原帖由 快乐的小鱼 于 2008-2-13 10:06 发表 $\"\"$

谢谢！我已经想明白了。不过应该是如下解释更容易让小朋友理解：
假设甲奔跑x分钟，乙一定奔跑x+2分钟，那么乙多跑的2分钟内的路程200米，也需要甲在x分钟内追上。所以在x分钟内，甲一定要超出乙700米。所以才有这 ...

作者: ellajl 时间: 2008-2-15 22:17

解答如下：
这是非连续速度情况下的路程问题。
先分别求甲乙的最小可重复段（类似最小公倍数的概念）
甲：跑5分钟，休息3分钟，即8分钟行程为600米。
乙：跑2分钟，休息1分钟，即3分钟行程为200米。
再以甲乙的最小可重复段的时间为基础，求出时间数的最小公倍数，在此时间内甲乙各自的行程
3×8=24分钟
甲：3×600=1800米
乙：8×200=1600米
行程差为200米，即24分钟甲比乙多跑200米
第3步，利用路程问题的基本知识，长跑比赛套圈，即相同时间内快者比慢者多跑1圈
本题1圈的路程为500米
500÷200=2……100
即需要2个24分钟甲比乙多跑400米
第4步，余数100米需要多少时间，可以图解，列表如下：
时间       1          2       3       4       5       6       7          8       9       10       11       12
路程差    20       0       40    60       0    80    100       0    120    100    40    160
时间       13       14    15    16    17    18       19       20       21    22       23    24
路程差 100    80    200    100    120    200 140    160    200    180    200    200
可以知道余数100米还需7分钟
24×2+7=55分钟
甲第一次追上乙需要55分钟。
思考：路程差是振荡上升的，24分钟内最大值是200米，但200米路程差最早出现在15分钟，在23分钟之后路程差不会再小于200米。假如环形跑道周长是400米，情况如何？

[ 本帖最后由 ellajl 于 2008-2-15 22:21 编辑 ].

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