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标题: [数学] 一道数学题 [打印本页]

作者: 宏哥 时间: 2007-10-17 14:59 标题: 一道数学题

昨天晚上加班，回去比较晚。

儿子拿了一道课外的数学题给我，我做了以后自己也吃不准，拿出来给大家讨论一下。

有好多一摸一样的球，已知有一个比其他的重。问有一个天平，可以称三次，问要最多可以在多少个球里选出这个重球。.

作者: fifi_qian 时间: 2007-10-17 15:05

是不是9个?
1个单放,其他8个分2份,每份4个,
1.称,一样重的话,这1个是重球.否则, 选出重的4个球,分2份
2. 称,选出重一点的2个
3. 这两个中任1个和原先的1个称

OK,选定重球..

作者: 斯斯妈妈 时间: 2007-10-17 15:07

去年中环杯里有道题是12个球称三次找出与众不同的哪个球.估计这题结果应该是12吧.

作者: 宏哥 时间: 2007-10-17 15:15

这种题目根据我的经验，应该是双数。我昨天试过，8个是肯定没有问题，但是再多，12？16？我吃不准了。.

作者: 斯斯妈妈 时间: 2007-10-17 15:17 标题: 题解

12个球分三组,每组四个.

作者: 宏哥 时间: 2007-10-17 15:19

引用:

原帖由 斯斯妈妈 于 2007-10-17 15:17 发表 $\"\"$
12个球分三组,每组四个

这个恐怖来。。。

我先学清楚了。.

作者: fifi_qian 时间: 2007-10-17 15:20

作者: 斯斯妈妈 时间: 2007-10-17 15:22 标题: 回复 6#宏哥的帖子

不用觉得恐怖,这是五年级的中环杯竞赛题,我们现在还小,不急的

作者: 隆隆爸 时间: 2007-10-17 15:28

引用:

原帖由 斯斯妈妈 于 2007-10-17 15:22 发表 $\"\"$
不用觉得恐怖,这是五年级的中环杯竞赛题,我们现在还小,不急的

怪怪，这么搞脑子，看来我还得再从新读读小学。

作者: 宏哥 时间: 2007-10-17 15:30

引用:

原帖由 隆隆爸 于 2007-10-17 15:28 发表 $\"\"$

怪怪，这么搞脑子，看来我还得再从新读读小学。

隆爸今晚回去好好攻关一下，我昨天累得要死，只好敷衍说，“明天去请教专家。。。”

难办呐。.

作者: 宏哥 时间: 2007-10-17 15:34

引用:

原帖由 斯斯妈妈 于 2007-10-17 15:22 发表 $\"\"$
不用觉得恐怖,这是五年级的中环杯竞赛题,我们现在还小,不急的

五年级？

看来偶想辅导到小学毕业的希望也破灭了。

难怪上次，有个同事拿来一道她女儿求面积的题给我们做，没有人做的出，最后我毛掉了，用定积分做的。

这社会变化真快啊。.

作者: fifi_qian 时间: 2007-10-17 15:38

,看来做父母真不容易啊.

作者: 斯斯妈妈 时间: 2007-10-17 15:47 标题: 回复 11#宏哥的帖子

我们家我现在已经搞不定啦,辅导不了,这种数学的题目,爸爸的上

作者: 宏哥 时间: 2007-10-17 15:48

引用:

原帖由 斯斯妈妈 于 2007-10-17 15:47 发表 $\"\"$
我们家我现在已经搞不定啦,辅导不了,这种数学的题目,爸爸的上

爸爸的文化程度也不高啊。

作者: fifi_qian 时间: 2007-10-17 15:52

隆爸看来要从现在开始好好学习了

作者: 宏哥 时间: 2007-10-17 15:57

引用:

原帖由 fifi_qian 于 2007-10-17 15:52 发表 $\"\"$
隆爸看来要从现在开始好好学习了

我看行，微积分，线性代数，概率论什么的都要跟进。

英语也要至少达到雅思，托福水平。

否则。。。.

作者: fifi_qian 时间: 2007-10-17 16:01

压力大啊!

作者: 宏哥 时间: 2007-10-17 16:03

引用:

原帖由 fifi_qian 于 2007-10-17 16:01 发表 $\"\"$
压力大啊!

不会了，共同进步嘛。

作者: 隆隆爸 时间: 2007-10-17 16:10

什么微积分，线性代数，概率论，我不懂的，要我命呀！

我不要上学，请专家，找家教，上网求助，别找我。

作者: fifi_qian 时间: 2007-10-17 16:12

引用:

原帖由 隆隆爸 于 2007-10-17 16:10 发表 $\"\"$
什么微积分，线性代数，概率论，我不懂的，要我命呀！
我不要上学，请专家，找家教，上网求助，别找我。

作者: 斯斯妈妈 时间: 2007-10-17 16:17

隆爸就多考虑下怎么组织大家一起出来多玩玩

作者: 隆隆爸 时间: 2007-10-17 16:22

引用:

原帖由 斯斯妈妈 于 2007-10-17 16:17 发表 $\"\"$
隆爸就多考虑下怎么组织大家一起出来多玩玩

搞活动简单：时间，地点，活动内容，自愿参加。
奥数则太恐怖了，让人只想要逃。

作者: fifi_qian 时间: 2007-10-17 16:25

引用:

原帖由 隆隆爸 于 2007-10-17 16:10 发表 $\"\"$
什么微积分，线性代数，概率论，我不懂的，要我命呀！
我不要上学，请专家，找家教，上网求助，别找我。

,还好隆隆不上网!.

作者: smilinge 时间: 2007-10-17 16:44 标题: 回复 1#宏哥的帖子

13个
step1: 单放1个，6个在左，6个在右称。若等重，单放的一个为重球；若不等重，step2
step2: 将重的一组平分，3个在左，3个在右称。
step 3: 取较重的一组，单放1个，称剩余两个，可得重球。若等重，单放的为重球。.

作者: 薇安老师 时间: 2007-10-17 18:01 标题: 回复 1#宏哥的帖子

没记错的话扬扬是二年级吧，那这题到底是二年级的还是五年级的？晕死我！奥数，偶投降。.

作者: 老猫 时间: 2007-10-17 19:37

27个。

第一次各拿9个秤一下：如果平，那么重球在没秤的那堆，如果不平，重球在重的那堆；
第二次在坏的那堆中各拿3个秤一下：如果平，那么重球在没秤的那堆，如果不平，重球在重的那堆；
第三次在坏的那堆中各拿1个秤一下：如果平，那么重球在没秤的那个，如果不平，重球在重的那个。

搞定。.

作者: echooooo 时间: 2007-10-17 19:44

中环杯的12个球，是不知道坏球的轻重的。

本题已知坏球是重的，就简单多了。
如果称1次要找出重球，最多3个球；
如果称1次要找出含重球的3个球，最多3个3个球，9个球；
如果称1次要找出含重球的3个3个球，最多3个3个3个球，27个球。

所以，最多可以在27个球里选出这个重球。
称法如下：
第1次称，左9右9，空9，找出重的9个；
第2次称，重的9个中，左3右3，空3，找出重的3个；
第3次称，重的3个中，左1右1，空1，找出重的1个。.

作者: 隆隆爸 时间: 2007-10-17 20:40

楼上都好厉害，佩服！看来下次知道找高手帮忙喽！谢了先，助人为乐！

作者: 隆隆爸 时间: 2007-10-17 20:42

引用:

原帖由 隆隆爸 于 2007-10-17 16:10 发表 $\"\"$
什么微积分，线性代数，概率论，我不懂的，要我命呀！
我不要上学，请专家，找家教，上网求助，别找我。

原本要：一道数学题引发的血案（隆爸撞墙，跳楼），现在不用了，楼上房顶上来了这么多大侠，有救喽。

作者: 喜洋洋88 时间: 2007-10-17 21:31 标题: 回26#老猫

到底是“老猫”！！！欢迎“老猫”到六师来做客，以后我们六师的爸爸妈妈遇到数学难题请“老猫”多多指教。.

作者: 隆隆爸 时间: 2007-10-17 21:36 标题: 回复 30#喜洋洋88 的帖子

欢迎欢迎，“老猫”是谁啊？谁告知我一下，我是新手上路，请多关照。

作者: 喜洋洋88 时间: 2007-10-17 21:40 标题: 回隆爸

你不要太谦虚呀，我才是新手呢。.

作者: 喜洋洋88 时间: 2007-10-17 21:42

我看到过老猫的贴子，都是分析数学题目，好象是中学数学.

作者: 喜洋洋88 时间: 2007-10-17 21:43

还有一个叫“老封”的，也经常解数学题目.

作者: 喜洋洋88 时间: 2007-10-17 21:44

你去12-18岁的圈子找找，肯定会会看到“老猫”或者“老封”的.

作者: 宏哥 时间: 2007-10-18 09:26

引用:

原帖由 echooooo 于 2007-10-17 19:44 发表 $\"\"$
中环杯的12个球，是不知道坏球的轻重的。

本题已知坏球是重的，就简单多了。
如果称1次要找出重球，最多3个球；
如果称1次要找出含重球的3个球，最多3个3个球，9个球；
如果称1次要找出含重球的3个3个球，最多 ...

太厉害了，今天回家可以牛一把。.

作者: 南方的燕子 时间: 2007-10-18 09:30

引用:

原帖由 隆隆爸 于 2007-10-17 15:28 发表 $\"\"$

怪怪，这么搞脑子，看来我还得再从新读读小学。

呵呵,家有小学生的人早就开始重读小学啦.

作者: fifi_qian 时间: 2007-10-18 11:40

引用:

原帖由 南方的燕子 于 2007-10-18 09:30 发表 $\"\"$

呵呵,家有小学生的人早就开始重读小学啦

看来隆爸的学习生涯不可避免的要重新开始乐.

作者: 宏哥 时间: 2007-10-18 11:58

我在网上找到了称球系列问题的解法，恐怖啊。

摘录如下：

称球问题的解法
qzongci

称球问题是一类饶有趣味的数学问题,历来引起人们的兴趣,讨论也很多.其中12个球的问题是最为经典的.而实际上,12个球的问题早已研究透彻.下面用信息和熵的概念讨论这个问题并给出一种简单易行的分析方法。

为了引入概念，我们先考虑这样一个简单的问题：有10只球，从中任意取1只，要求猜测其颜色，（1）已知10球颜色是5白5黑；（2）已知10球是2白8黑；（3）已知10球是9白1黑；（4）已知10球全是白的。

第一种情况最难猜，因为白黑数量相等，无论猜哪一种颜色都只有50% 的把握。第二种情况好一些，猜是黑色可有80% 的胜算。第三种情况最好猜，任何一个人大约都会猜是白球，这差不多总是对的，因为有90% 的概率。至于第四种情况，没有不确定性。我们说第一种情况球的颜色的不确定性最大。如果获得了足够的信息，可以确定其结果，就消除了不确定性，或者说不确定性是0。称不确定性为熵。因此熵是可以度量的，而且熵的度量与信息的度量是一致的。

设事件A 发生的概率是 P(A)，如果此事件已经发生，称获得了I=-log(P(A))=log(1/P(A)) 的信息量，这里对数可以以任何大于0不等于1的实数为底。为例便于计算，下面取自然对数，即以e 为底。

如果一个试验A有若干个不同的结果A1,A2,...,An ,其发生概率分别是 P(Ai) ，则其平均信息量是 ∑P(Ai)I(Ai)=∑P(Ai)(-ln(Ai))=∑P(Ai)(ln(1/Ai)) ，称之为熵，记做H(A) 。

前面的题目中，熵分别是：

（1）H=0.5×ln2+0.5×ln2=ln2=0.69315
（2）H=0.2×ln5+0.8×ln1.25=0.50040
（3）H=0.9×ln1.11111+0.1×ln10=0.32508
（4）H=1×ln12=0

这如果所获得有用信息的信息量小于熵的数量，问题就不可能得到解决。如果所获得的信息量不小于熵，则问题有可能得到解决。

下面简单分析两个称球问题。

问题1 有12只球,编号1--12,它们外形相同,除其中1只略轻(称作坏球)外,其余重量相等.要求用一架天平称量3次,找出这只坏球.

一开始，12个球都有相等的可能，故熵 h0=12×(ln12)12=ln12=2.48491 。

如果有个数相等的三组球，其中仅有1只稍轻，用天平称一次，可以由三组确定哪一组含有轻球，故称一次得到的信息是I=ln3 。三次得到的信息量是 3×ln3=ln27>ln12 。故问题有可能解决。实际上这个问题是能够解决的,具体解法较多，例如下面表示的解法。

第一次称量
第二次称量
第三次称量
结论 : 坏球为
1,2,3,4<5,6,7,8
1,2<3,4
1<2
1
1>2
2
1,2>3,4
3<4
3
3>4
4
1,2,3,4>5,6,7,8
5,6<7,8
5<6
5
5>6
6
5,6>7,8
7<8
7
7>8
8
1,2,3,4=5,6,7,8
9,10<11,12
9<10
9
9>10
10
9,10>11,12
11<12
11
11>12
12

我们不难发现，如果球的个数达到27，也可以类似解决。

问题2 有12只球,编号1--12,它们外形相同,其中有11只重量相等,另外1只重量略有不同(称作坏球),但不知这只球是偏轻还是偏重.要求用一架天平称量3次,找出这只坏球,并判定它是偏轻还是偏重。

一开始，有24种可能：1号偏轻，2号偏重，2号偏轻，2号偏重，等。故熵 H0=ln24 。如下表，以0表示不可能，1表示确定，空表示未知。

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12
偏轻
偏重

每称量一次，获得 ln3 的信息，三次获得 3ln3=ln27 的信息，ln27>ln24 ，故问题可能得到解决。

第一次称量，三个球一组，例如1234在左边，5678在右边，结果有三种可能。假设1234>5678（表示左边重于右边，以下类似），如下表。

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12
偏轻  0  0  0  0             0  0  0  0
偏重             0  0  0  0  0  0  0  0

其中不确定的还有8种可能，H1=ln8 。第一次称量获得ln3 的信息，但真正起作用的稍小于ln3 。

注意第二次称量至少要排除5种可能。因为如果剩下仍有4种可能，熵为ln4>ln3 ，那么最后一次就不可能得出结果。

如果取12在左边，34在右边，当结果是12>34 时，得到下表。

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12
偏轻  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0
偏重       0  0  0  0  0  0  0  0  0  0

剩下只有两种可能，再一次称量就可以得出结果。但如果12=34，如下表：

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12
偏轻  0  0  0  0             0  0  0  0
偏重  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0

还有4种可能，由于ln4>ln3 ，已经不可能成功了。因此第二次比较12与34是不行的。

实际上，由第一次还可以知道，9－12都是好球。下面的称量应当利用这个信息。为此，必须采用“好球坏球混合”的方法，即把可能轻的、可能重的、好球混合起来称量，以获得更多的信息。例如，156左边，289右边，其中9号已经知道肯定是好球。于是比较156与289。以下又有三种情况：

如果156>289，可得到下表。

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12
偏轻  0  0  0  0  0  0  0    0  0  0  0
偏重    0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0

只剩下两个可能，要么1偏重，要么8偏轻，再来一次当然可以解决。例如比较1和2，不可能出现1<2，如果1=2，说明8号偏轻；如果1>2 说明1号偏重。

如果156<289，可得到下表。

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12
偏轻  0  0  0  0  ?  ?  0  0  0  0  0  0
偏重  0  ?  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0

只剩下三个可能：2偏重，5偏轻，6偏轻。第三次比较5，6。如果5<6 说明5号偏轻；5>6 说明6号偏轻；5=6 说明2号偏重。

如果156=289，可得到下表。

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12
偏轻  0  0  0  0  0  0  ?  0  0  0  0  0
偏重  0  ?  ?  ?  0  0  0  0  0  0  0  0

剩下也是三个可能：2偏重，3偏重，7偏轻。第三次比较2，3。如果2<3 说明3号偏重；2>3 说明2号偏重；2=3 说明7号偏轻。

第一次称量如果得到1234<5678 ,或1234=5678，可类似分析。

总之要做到第一次称量后的可能结果数要<=9;第二次称量后可能结果数要<=3。

从这个例子可以看出，尽管这个问题可以得到解决，但称量的方法不对，仍然解决不了。必须正确安排，使得每次称量得到尽可能多的信息才行。

对各种情况的分析，总结成为下表。

第一次称量

第二次称量

第三次称量
结论 : 坏球为

1,2,3,4<5,6,7,8

1,5,6<2,8,9
1<9
1 轻

1=9  8 重
1,5,6=2,8,9
3<4
3 轻

3=4
7 重

3>4
4 轻

1,5,6>2,8,9
5<6
6 重

5=6
2 轻

5>6
5 重

1,2,3,4=5,6,7,8
9,10<5,11
9<10
9 轻

9=10
11 重

9>10
10 轻

9,10=5,11
1<12
12 重

1>12
12 轻

9,10>5,11
9<10
10重

9=10
11 轻

9>10
9 重

1,2,3,4>5,6,7,8
1,5,6<2,8,9
5<6
5 轻

5=6
2 重

5>6
6 轻

1,5,6=2,8,9
3<4
4 重

3=4
7 轻

3>4
3 重

1,5,6>2,8,9
1=2
8 轻

1>2
1 重

引申一下，如果是13个球，其中有12只重量相等,另外1只重量略有不同,但不知这只球是偏轻还是偏重.还能否用一架天平称量3次,找出这只坏球,并判定它是偏轻还是偏重

注意这里一开始有26种可能，熵H0=ln26<ln27，似乎可以。但实际上，假设第一次称量比较1234与5678，如果二者不等，同上面可以解决。如果二者相等，则剩下5个球计10种可能，ln10>ln9=2ln3，后面两步无论如何得不到ln10 的信息，故不论怎样安排，都无法解决。因此，一开始信息量的分析似乎可以解决，但如果无法安排好，即有的称量，总是获得一些重复的信息，那问题就是不可解的。.

作者: 宏哥 时间: 2007-10-18 12:01

太恐怖了，我对楼上”老猫“同志的景仰真是有如滔滔江水。。。.

作者: 荷叶青青 时间: 2007-10-18 12:29

“老猫”、“echooooo"都是高手，欢迎你们来这里。

作者: fifi_qian 时间: 2007-10-18 12:37

太牛了!

作者: mytaste 时间: 2007-10-18 13:02

这种题高中生都不一定能做出来，我都花了近10分钟的时间才搞定，我看当中考题都不成问题了，居然是一个小学数学题，晕了。.

作者: 隆隆爸 时间: 2007-10-18 13:26

怪怪，要吓死人的。

可不要打击了家长和孩子的积极性。

作者: 阳光清风 时间: 2007-10-18 14:55

引用:

原帖由宏哥于 2007-10-18 11:58 发表 $\"\"$
我在网上找到了称球系列问题的解法，恐怖啊。

摘录如下：

称球问题的解法
qzongci

称球问题是一类饶有趣味的数学问题,历来引起人们的兴趣,讨论也很多.其中12个球的问题是最为经典的.而实际上,12个球的问题 ...

晕了。熵、对数怎么用到这儿了呢。还好现在不需要再解这种题目了。等女儿需要解的时候再研究了。27的答案真是很绝的，二年级哪能解出来啊。.

作者: 隆隆爸 时间: 2007-10-18 15:26

晕倒后，我爬了起来，哈，竟然有这么多人回贴。我又晕！

作者: 呼啦啦 时间: 2007-10-18 23:59

有点晕了.

作者: yzh200922 时间: 2007-10-19 10:30

搞脑子来

作者: changwenwu 时间: 2009-3-10 13:49 标题: 12球称量问题我来解一下：

这是道老题目了。有不止一种方法。最容易理解的是：
先编号1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
第一次称拿 1 2 3 4 与 5 6 7 8分放左右。
如果平，则第二次拿 1 2 3 与 9 、10、 11称。下面不再细说了。
如果不平，则第二次在原天平一侧拿下1 2 3 换成9、10 、11，并把 4 和 5 互换位置称。从这次的称量结果可以得出特别球在1 2 3里还是在6 7 8里还是在4 5中。第三次也就好办了。.

作者: ccpaging 时间: 2009-3-10 19:36 标题: 可以循序渐进的求解

此题可以从3个球开始玩起，逐渐增加球的数量。

有一些数学的解法实际上是一步步做出来的，在做的过程中寻找规律，积累经验。待研究者懂了以后，也许会用各种各样的理论、方法予以包装，而包装好的、一步到位的东西，往往会使人心生敬仰，无限崇拜。

下帖中有详细的称量方法的研究，适合二年级、三年级的同学慢慢玩
http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875.

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