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标题: [求助] 请教数学题 [打印本页]

作者: cooldogMM 时间: 2007-2-6 23:00 标题: 请教数学题

1 . 已知: a,b,c>0,且(a+b+c)(ab+ac+bc)=9abc
求证:a=b=c.

作者: 大可丫 时间: 2007-2-6 23:44

aab+aac+abc+abb+abc+ bbc+ abc+ acc+ bcc=3abc+aab+aac+abb+bbc+acc+bcc=9abc

ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)=6abc

用反证法假设a≠b, b≠c, c≠a有一项成立,即a+b≠2c ,b+c≠2a, c+a≠2b
则 ab(a+b)≠2abc, bc(b+c)≠2abc, ac(a+c)≠2abc中有一项成立
所以 ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)≠6abc
即原等式不成立.
故此a=b=c

以上解法心里没底反证法读书的时候就用得不太好.

作者: 老姜 时间: 2007-2-7 09:12

引用:

原帖由 大可丫 于 2007-2-6 23:44 发表
aab+aac+abc+abb+abc+ bbc+ abc+ acc+ bcc=3abc+aab+aac+abb+bbc+acc+bcc=9abc

ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)=6abc

用反证法假设a≠b, b≠c, c≠a有一项成立,即a+b≠2c ,b+c≠2a, c+a≠2b
则 ab(a+b)≠2abc, ...

2楼的证明是有问题的。事实上，a、b、c都相等的反面是不都相等，而非都不相等，也就是说，a、b、c都相等的反面允许a=b≠c等情况的出现。

这类问题一般可以用配方来解决。将问题提到的等式整理一下，可以得到a(b-c)^2+ b(c-a)^2+c(a-b)^2=0的结果。注意到a(b-c)^2， b(c-a)^2，c(a-b)^2均为非负数，那么，要使得a(b-c)^2+ b(c-a)^2+c(a-b)^2=0成立，只有a(b-c)^2= b(c-a)^2=c(a-b)^2=0，即a=b=c了。

等孩子长大以后，我们还可以用均值不等式来解释，这下就简单多了。

作者: 大音无声 时间: 2007-2-7 10:05

作者: cooldogMM 时间: 2007-2-7 14:49

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