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标题: 姜老师在线——全国初中数学联赛第二试平面几何问题 [打印本页]

作者: 老姜 时间: 2006-9-28 21:09 标题: 姜老师在线——全国初中数学联赛第二试平面几何问题

考试结束了，生活还要继续……

[ 本帖最后由老姜于 2007-4-17 19:55 编辑 ].

作者: 老姜 时间: 2006-9-28 21:11 标题: 回复 #1 老姜的帖子

2006年9月28日

打字员准备将所有的四位数都打印在卡片上，每张卡片打印一个数。注意到有的四位数，倒过来看仍是一个四位数（如9961，倒过来看是1966），于是，9961和1966完全可以合二为一，用一张卡片来代替。打字员最少需要打印几张卡片，就能表示所有的四位数？（我们假定：在本题中，0、1、6、8、9倒过来分别是0、1、9、8、6，其余数字倒过来都不再是数字了。）.

作者: 狗儿妈 时间: 2006-9-28 21:14

作者: 将真实进行到底 时间: 2006-9-28 22:41

8250

[ 本帖最后由将真实进行到底于 2006-9-28 22:43 编辑 ].

作者: 快乐小猪妈妈 时间: 2006-9-28 22:44 标题: 回复 #4 将真实进行到底的帖子

中学版答题的规矩: 要有过程.

作者: 将真实进行到底 时间: 2006-9-28 22:49 标题: 回复 #5 快乐小猪妈妈的帖子

哈哈，我是答得好玩

9*10*10*10-4*5*5*5/2=8250
(四位数减能倒写的重复的四位数).

作者: 老姜 时间: 2006-9-29 06:20

引用:

原帖由 将真实进行到底 于 2006-9-28 22:49 发表
哈哈，我是答得好玩

9*10*10*10-4*5*5*5/2=8250
(四位数减能倒写的重复的四位数)

这个答案好像有问题哦。.

作者: wywu2122 时间: 2006-9-29 09:20

顶.

作者: wood 时间: 2006-9-29 09:35

9000-4*5*5*5+4*5*5*4/2+4*5*5=8800

[ 本帖最后由 wood 于 2006-9-29 09:48 编辑 ].

作者: wood 时间: 2006-9-29 09:39

上述答案不包括类是0001这样的数.

作者: 将真实进行到底 时间: 2006-9-29 10:33 标题: 回复 #7 老姜的帖子

嘿嘿，是有问题，减法就算错了

9000-4*5*5*5/2=8750

再试一个 9000-4*5*5*4/2=8800.

作者: 老姜 时间: 2006-9-29 11:44

引用:

原帖由 将真实进行到底 于 2006-9-29 10:33 发表
嘿嘿，是有问题，减法就算错了
9000-4*5*5*5/2=8750

再试一个 9000-4*5*5*4/2=8800

好像还是有问题啊。：（.

作者: 上海的考拉 时间: 2006-9-29 12:01 标题: 回复 #2 老姜的帖子

先考虑四个位数上可以放那些数字，再考虑0不可以放首位和末位，然后去除重复的就是正确的答案。

作者: 将真实进行到底 时间: 2006-9-29 13:03 标题: 回复 #12 老姜的帖子

我抛砖引玉

还有特殊数字，倒过来是本身的 1111、1001、1881、1691、1961、6119、6009、6889、6699、6969、8888、8118、8008、8698、8968、9116、9006、9886、9966、9696、

9000-(4*5*5*4-20)/2=8810

再不对就不做了

[ 本帖最后由将真实进行到底于 2006-9-29 15:30 编辑 ].

作者: 葫芦妈 时间: 2006-9-29 13:07

作者: 老姜 时间: 2006-9-29 17:54

引用:

原帖由 将真实进行到底 于 2006-9-29 13:03 发表
我抛砖引玉

还有特殊数字，倒过来是本身的 1111、1001、1881、1691、1961、6119、6009、6889、6699、6969、8888、8118、8008、8698、8968、9116、9006、9886、9966、9696、

9000-(4*5*5*4-20)/2=8810
...

8809离8810仅一步之遥，“真实”终于把脚步迈了过去，看来“真实”的排列组合学得还不错啊。

其实“20”不用穷举得到，9000-(4*5*5*4-4*5)/2=8810 ，想一想，为什么可以这样算。.

作者: 老姜 时间: 2006-9-29 18:01

2006年9月29日

有三个大小相同的立方体，每个立方体的六个面上分别写有1至6六个数字，其表面展开图如图所示。现在将这三个立方体按如图方式粘合在一起，设粘合体表面的各数字之和为S，求S的所有不同可能值的和。.

图片附件: 三个立方体.JPG (2006-9-29 18:01, 18.19 KB) / 该附件被下载次数 86
http://ww123.net/attachment.php?aid=26923

作者: dongdong 时间: 2006-9-30 09:59

42-58，对吗？

没有仔细审题，应该再将42到58的数全部加起来。

[ 本帖最后由 dongdong 于 2006-9-30 22:06 编辑 ].

作者: 老姜 时间: 2006-9-30 13:33

引用:

原帖由 dongdong 于 2006-9-30 09:59 发表
42-58，对吗？

差一点就对了。

请再审一下题。.

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-9-30 19:58

850，对吗？

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-9-30 20:03

[ 本帖最后由 Jessie_Shi 于 2006-9-30 20:09 编辑 ].

作者: 老姜 时间: 2006-9-30 20:12 标题: 回复 #21 Jessie_Shi 的帖子

回答正确。.

作者: 老姜 时间: 2006-10-1 07:36

2006年9月30日

对于正数x和y，定义新运算“#”如下：x#y=(x*y+20)/(x+y+1)。例如，1#2=(1*2+20)/(1+2+1)=11/2，(1#2)#3=(11/2)#3=((11/2)*3+20)/((11/2)+3+1)=73/19。试计算(((……(((2006#2005)#2004)#2003)…)#3)#2)#1的值。.

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-10-1 09:57

答案是4，对吗？.

作者: 老姜 时间: 2006-10-1 12:22

引用:

原帖由 Jessie_Shi 于 2006-10-1 09:57 发表
答案是4，对吗？

是的是的，Jessie_Shi很厉害呀。

作者: 老姜 时间: 2006-10-1 12:25

看来题目难度得加大了。

作者: 老姜 时间: 2006-10-1 12:30

2006年10月1日

图书馆的一本藏书里夹着一张发黄的纸片，

上面密密麻麻写着1至1000这1000个连续自然数。

管理员发现，蛀虫将这些自然数中所有的0都蛀掉了。

于是，类似于10、230 、400这样的数分别变成了1 、23和4，

而类似于506这样的数则摇身一变成了5和6两个数。

问：在被虫蛀食过的纸片上，所有数的和是多少？.

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-10-1 13:27

5356，对吗？.

作者: 老姜 时间: 2006-10-1 18:07

引用:

原帖由 Jessie_Shi 于 2006-10-1 13:27 发表
5356，对吗？

这回差得可太远了。

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-10-1 18:15

是不是俺审题有误？是否除了被虫啃过的数字还得加上完好无损的数字的和？

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-10-1 18:16

415451，对吗？.

作者: 老姜 时间: 2006-10-1 18:50

引用:

原帖由 Jessie_Shi 于 2006-10-1 18:16 发表
415451，对吗？

六位数中只有一个数字是错的，足见楼上确实厉害。.

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-10-1 20:08

414451,对吗？

作者: 老姜 时间: 2006-10-1 20:28

引用:

原帖由 Jessie_Shi 于 2006-10-1 20:08 发表
414451,对吗？

确乎如此，不胜惊喜。.

作者: cyn 时间: 2006-10-1 20:51 标题: 回复 #27 老姜的帖子

请给出这题和前一题的过程好吗？

[ 本帖最后由 cyn 于 2006-10-1 20:55 编辑 ].

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 07:35

引用:

原帖由 cyn 于 2006-10-1 20:51 发表
请给出这题和前一题的过程好吗？

请Jessie_Shi给出解题的思路，以便让更多的家长知道问题的来龙去脉。.

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-10-2 08:40

对于正数x和y，定义新运算“#”如下：x#y=(x*y+20)/(x+y+1)。例如，1#2=(1*2+20)/(1+2+1)=11/2，(1#2)#3=(11/2)#3=((11/2)*3+20)/((11/2)+3+1)=73/19。试计算(((……(((2006#2005)#2004)#2003)…)#3)#2)#1的值。

解：我们不妨设X为4，则
x#y=(4y+20)/(4+y+1)=4(y+5)/(y+5)=4
∴任何一个这样的式子里，只要含有#4，答案都为4。
∴(((……(((2006#2005)#2004)#2003)…)#3)#2)#1的值为4。
姜老师，我这样想对吗？

[ 本帖最后由 Jessie_Shi 于 2006-10-2 09:08 编辑 ].

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-10-2 09:07

引用:

原帖由老姜于 2006-10-1 12:30 发表
2006年10月1日

图书馆的一本藏书里夹着一张发黄的纸片，

上面密密麻麻写着1至1000这1000个连续自然数。

管理员发现，蛀虫将这些自然数中所有的0都蛀掉了。

于是，类似于10、230 、400这样的数分别变成 ...

解：
被虫子蛀过的数为：10、20、30……990、1000（末尾为0）
                        101、102、103……109、201……909（中间为0）
这些数的原值的和为：（10+1000）*100/2+45*9+4500*9
                           =50500+40905
                           =91405
这些数被蛀后变成：1……9、1、11……19、2……91……99、1
                        1、1、1、2、1、3……9、9
这些数被蛀后的值的和为：（1+99）*99/2+46-450+45*9+45*9
                                 =4500+46+810
                                 =5356
（1+1000）*1000/2+5356-91405
=500500+5356-91405
=414451
姜老师，有没有比这简单一点的解法？

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 12:12

Jessie_Shi的方法已属很简单了，在这两个问题上，老姜并不比你高明多少啊。你太厉害了，今天（10月2日）的题目只能痛下杀手了。.

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 12:15

2006年10月2日

有十只筐，每只筐里都装有45只桔子，其中有八只筐里的桔子每只重1两，另有两只筐里的桔子每只重9钱。用一台磅秤，只称一次，如何找出份量较轻的那两只筐？.

作者: 多多侠妈妈 时间: 2006-10-2 16:35

橘子或脑细胞少了点，如果每筐有88只偶的脑细胞就够用了

作者: helenLee 时间: 2006-10-2 16:56

引用:

原帖由 多多侠妈妈 于 2006-10-2 16:35 发表
橘子或脑细胞少了点，如果每筐有88只偶的脑细胞就够用了

如果每筐有52只桔子，偶的脑细胞也够用了。

[ 本帖最后由 helenLee 于 2006-10-2 16:59 编辑 ].

图片附件: OrangePuzzle.JPG (2006-10-2 16:59, 28.58 KB) / 该附件被下载次数 62
http://ww123.net/attachment.php?aid=27150

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-10-2 17:04

引用:

原帖由老姜于 2006-10-2 12:15 发表
2006年10月2日

有十只筐，每只筐里都装有45只桔子，其中有八只筐里的桔子每只重1两，另有两只筐里的桔子每只重9钱。用一台磅秤，只称一次，如何找出份量较轻的那两只筐？

这下真的被老姜考焦了，死了好多脑细胞

，搞了一个答案，请姜老师评判：
先为其中九筐桔子分别编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9号，再分别从这九个筐中依次取出3，6，10，15，22，31，43，44，45个桔子称一下，从比（3+6+10+15+……+45）=219（两）少的分量中判断出哪两筐分量是较轻的。.

作者: helenLee 时间: 2006-10-2 17:09

引用:

原帖由 Jessie_Shi 于 2006-10-2 17:04 发表

这下真的被老姜考焦了，死了好多脑细胞，搞了一个答案，请姜老师评判：
先为其中九筐桔子分别编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9号，再分别从这九个筐中依次取出3，6，10，15，22，31，43，44，45个桔子称 ...

如果少25钱，有可能是（10+15）也有可能是（3+22），所以无法判断究竟哪2个筐轻。

如下图，当总重少25、37、46、53钱时，都产生两种可能。

[ 本帖最后由 helenLee 于 2006-10-2 17:14 编辑 ].

图片附件: OrangePuzzle2.JPG (2006-10-2 17:14, 351.62 KB) / 该附件被下载次数 48
http://ww123.net/attachment.php?aid=27151

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-10-2 17:19

一直在寻找不会产生两种可能的数字，却还是看花眼了。.

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 18:58

谢谢Jessie_Shi、多多侠妈妈、helenLee的参与。

本题源于一个真实的故事。

2000年年末，老姜收到昔日学生ZQ的一封“伊妹儿”，打开一看，不禁乐出声来。原来，这封主题为年年有“鱼”的贺岁信，通篇内容就只一道智力题：

有十只筐，每只筐里都装有10条鱼，其中有九只筐里的鱼每条重1斤，另有一只筐里的鱼每条重9两。用一台磅秤，只称一次，如何找出份量较轻的那只筐？

老姜眉头一皱，计上心头：从第一至第十只筐里分别取出1至10条鱼。然后，将取出的鱼集中在一起用磅秤称一下。若称出的重量与55斤差n两，则份量较轻的那只筐，就必然是第n只筐了（其中n是1至10之间的某个自然数）。

解完此题，老姜意犹未尽：要是将份量不足的筐由一只改为两只，那么，只称一次，又能否将这两只筐都找出来呢？顺着这一思路想下去，老姜果然编出了一道面孔更为新颖的智力题：

有十只筐，每只筐里都装有100只桔子，其中有八只筐里的桔子每只重1两，另有两只筐里的桔子每只重9钱。用一台磅秤，只称一次，如何找出份量较轻的那两只筐？

第二天，ZQ便收到了老姜的回信。这封信的主题是——“桔”祥如意。.

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 19:02 标题: 回复 #47 老姜的帖子

容易验证，从1，2，3，5，8，13，21，34，55，89这十个数（它们恰好是著名的斐波那契数列的前若干项）中任意取出两个数相加，所得的和各不相同。于是，我们可以从第一至第十只筐里分别取出1，2，3，5，8，13，21，34，55，89只桔子，然后将它们称一下。如果这些桔子每只重1两，则它们的总重量应该是231两。但由于其中有些桔子每只重9钱，因而它们的总重量一定不足231两。设实际的重量与231两相差n钱，则只需将n分拆成上述十个数中的某两个数的和（这种表示方法应是唯一的），随后便可用“对号入座”的方法找到份量较轻的那两只筐了。例如，实际的重量与231两相差63钱，因为63=8+55，所以，份量较轻的一定是第五只筐和第九只筐。.

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 19:04

老姜之所以将筐里的桔子数设定为100，其初衷只是希望能凑个整数罢了。显然，如果适当减少筐里的桔子数，问题仍可以有解。例如，我们将上面提到的十个数都减去1，那么0，1，2，4，7，12，20，33，54，88无疑也是符合要求的一种取桔子的方案（这一点，多多侠妈妈早已心知肚明）。但问题有解的“底线”又是多少呢？这是一个颇有意思的话题。.

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 19:08

直觉告诉我们，如果“压缩”十个数之间的相对距离，则不难得出问题有解的“底线”。在0，1，2，4，7，12，20，33，54，88中，0，1，2，4，7，12，20的大小似乎都不可改变了，但33却可以缩小到29，进而54可以缩小到38，88可以缩小到52。如此说来，本问题似乎存在“最优解”：0，1，2，4，7，12，20，29，38，52。鉴于此，本问题有解的“底线”似乎应该是52了。（helenLee见了这段文字一定会发出会心的微笑的。

）.

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 19:12

笔者曾将本问题整理成文，在2001年的春节期间发表于本市某科普杂志上。福建的一位读者来信指出，“52”并非本问题有解的“底线”。事实上，他找到了比52更小的一个可能值——46。对应的取法是：0，1，2，4，8，15，24，29，34，46。

这位读者的指正是正确的。那么，我一开始的想法又错在哪里呢？仔细比较0，1，2，4，7，12，20，29，38，52和0，1，2，4，8，15，24，29，34，46这两组数据，我们不难发现：尽管第二组数据的8，15，24比第一组数据相同位置的7，12，20要大一点，但第二组数据的34，46则一下子比第一组数据相同位置的38，52要小许多。由此看来，依靠“压缩”十个数间的相对距离求“底线”的方法，实在只是我的一种“异想天开”。

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 19:20

那么，本问题真正的“底线”又是多少呢？利用抽屉原理可以证明：问题有解的“底线”不小于45。但对应于45的取桔子的方案却很难用人工方法搜索出来。

看样子，只有计算机才能助我们一臂之力了。老姜编了一个程序，真正的“底线”终于浮出水面——45。对应的方案有两组：0，1，7，10，13，21，26，41，43，45和0，2，4，19，24，32，35，38，44，45（请注意：这两组解恰为对称解，即用45减去一组解中的十个数，便得另一组解）。

值得一提的是，对应于46的方案居然有24种之多。

作者: helenLee 时间: 2006-10-2 19:21

46应该是最小的解了吧。“45”无解。
老姜设了一只圈套让大家钻。.

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 19:23

引用:

原帖由 helenLee 于 2006-10-2 19:21 发表
46应该是最小的解了吧。“45”无解。
老姜设了一只圈套让大家钻。

老姜有这么坏吗？

作者: 多多侠妈妈 时间: 2006-10-2 19:24

5、10、16、22（23、24）、41、42、43、44、45

此题有多解，技巧是解决最后的数字发散问题.

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 19:33

引用:

原帖由 多多侠妈妈 于 2006-10-2 19:24 发表
5、10、16、22（23、24）、41、42、43、44、45

此题有多解，技巧是解决最后的数字发散问题

这是哪门子解？不算括号内的数，怎么只有九个呢？加上括号内的数，却有十一个！

作者: helenLee 时间: 2006-10-2 19:34

引用:

原帖由 多多侠妈妈 于 2006-10-2 19:24 发表
5、10、16、22（23、24）、41、42、43、44、45

此题有多解，技巧是解决最后的数字发散问题

这里有很多重复的。.

作者: 多多侠妈妈 时间: 2006-10-2 19:35

同理推算出如果是每筐43个橘子

0、5、10、16、22、39、40、41、42、43

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-10-2 19:36

引用:

原帖由 多多侠妈妈 于 2006-10-2 19:24 发表
5、10、16、22（23、24）、41、42、43、44、45

此题有多解，技巧是解决最后的数字发散问题

不懂，42+43不就等于41+44吗？

哎，光看这些数字就头晕，怪不得我那上预初的小狗再也没辙了！

作者: 多多侠妈妈 时间: 2006-10-2 19:40 标题: 回复 #60 Jessie_Shi 的帖子

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 19:43

2006年10月3日

如图，EFG是一个边长为5的正三角形的“轮子”，它和边长为8的正方形ABCD的初始位置如图所示。

现在让“轮子”按下面的方式“滚动”起来：

先绕着G点顺时针旋转，使得E点恰好落在CD边上；

又绕着E点顺时针旋转，使得F点恰好落在AD边上；

再绕着F点顺时针旋转，使得G点恰好落在AB边上……

仿此规律让“轮子”连续“滚动”1000次，问：在最后时刻，A、E两点之间的距离是多少？.

图片附件: 11.JPG (2006-10-2 19:43, 5.25 KB) / 该附件被下载次数 33
http://ww123.net/attachment.php?aid=27161

作者: 老姜 时间: 2006-10-2 19:46

引用:

原帖由 多多侠妈妈 于 2006-10-2 19:40 发表

计算机已经给出正确答案了，多多侠妈妈居然还想“翻案”。

作者: helenLee 时间: 2006-10-2 22:28

引用:

原帖由老姜于 2006-10-2 19:23 发表

老姜有这么坏吗？

还不算忒坏。

如果提示可以用编程解决，偶就直接写程序去解了。
可惜死了好多脑细胞。

作者: 多多侠妈妈 时间: 2006-10-2 23:18

我到现在看到数字还晕呢

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-10-3 13:27

引用:

原帖由老姜于 2006-10-2 19:43 发表
2006年10月3日

如图，EFG是一个边长为5的正三角形的“轮子”，它和边长为8的正方形ABCD的初始位置如图所示。

现在让“轮子”按下面的方式“滚动”起来：

先绕着G点顺时针旋转，使得E点恰好落在CD边上； ...

解：8-5=3
A---E的距离为3

对吗？

作者: 红眉 时间: 2006-10-3 18:51 标题: 回复 #61 老姜的帖子

每滚动48次,回到初始位置,答案是3.

作者: 老姜 时间: 2006-10-3 20:58

引用:

原帖由红眉于 2006-10-3 18:51 发表
每滚动48次,回到初始位置,答案是3

Jessie_Shi最早给出答案，红眉则点出了问题的要害。恭喜恭喜。

作者: 老姜 时间: 2006-10-3 21:11

2006年10月3日

一只母鸡踱着方步去吃米（如图）。它每走一步，只能从一个方格走到与之相邻的上、下、左、右中的某一个方格内，不能斜走。

母鸡突然心血来潮，它想为自己设计一条线路，使得它在抵达目的地之前，能走遍所有写有数字的47个方格。

需要指出的是，如果有必要，母鸡在行走过程中可以重复进入某些写有数字的方格；但作为起点和终点的2个方格，则在中途不能进入。

设母鸡曾经进入的所有方格内的数字之和为S（那些重复进入的方格内的数字，在求和时将被累计），求S的最小值。

说明：2003年末，笔者原创了本题，并于次年年初在上海某科普杂志发表此题。事实上，它只是笔者构思的“母鸡吃米”系列题中的第一个问题。如果有读者解决了这个问题，笔者将于明日继续给出后面的问题。.

图片附件: 母鸡吃米1.JPG (2006-10-3 21:11, 14.41 KB) / 该附件被下载次数 28
http://ww123.net/attachment.php?aid=27274

作者: steven的妈妈 时间: 2006-10-3 22:46

0.

作者: 美犬之爸 时间: 2006-10-4 18:55 标题: 请问高手

三个互不相等的数，可以表示成1，a+b，a，也可以表示成0，b/a，b的形式，那么a+3b=______。

请指点。.

作者: 美犬之爸 时间: 2006-10-4 19:00 标题: 请问高手

三个互不相等的数，可以表示成1，a+b，a，也可以表示成0，b/a，b的形式，那么a+3b=______。

请指点。.

作者: 老姜 时间: 2006-10-4 19:06

引用:

原帖由 美犬之爸 于 2006-10-4 19:00 发表
三个互不相等的数，可以表示成1，a+b，a，也可以表示成0，b/a，b的形式，那么a+3b=______。

请指点。

这道题目见了眼熟，它应该是某年的一道数学学校入学试题。

由于b/a有意义，因而a≠0。于是，在1，a+b，a三个数中，只有a+b=0了。由此不难知道，b/a=-1。这样，a=b/a=-1，b=1。

最后可知：a+3b=2。.

作者: 老姜 时间: 2006-10-4 19:10

引用:

原帖由老姜于 2006-10-3 21:11 发表
2006年10月3日

一只母鸡踱着方步去吃米（如图）。它每走一步，只能从一个方格走到与之相邻的上、下、左、右中的某一个方格内，不能斜走。

母鸡突然心血来潮，它想为自己设计一条线路，使得它在抵达目的地 ...

昨日“母鸡吃米”的问题终于遇到了冷场，看来这个问题看似简单，其实还是颇有份量的。老姜暂且不将个中奥秘点破，请有兴趣的读者继续开动脑筋。

作者: 老姜 时间: 2006-10-4 19:23 标题: 湖边的树

2006年10月5日

湖边的树

清晨，一位老人在湖边悠闲地散着步。湖边绿化搞得不错，每隔三至五步就种着一棵树。老人想，反正自己闲着无事，何不借此机会做个有心人，将绕湖一周的树的总数探个究竟。主意打定，他便从某棵树开始，按照顺时针的方向一五一十地数了起来。为了验证所得的结果是否正确，在完成了第一次清点工作后，老人又从另一棵树开始，同样按照顺时针的方向将树的总数重又数了一遍。结果，两次统计所得的数据完全一致。

我们假设，在绕湖的这些树中，存在这样的四棵树，第一次数数时它们的序号依次为第二次数数时序号的3、4、5、6倍；又假设，存在这样的四棵树，第二次数数时它们的序号依次为第一次数数时序号的7、8、9、10倍。问：湖边至少种了多少棵树？

说明：本题为笔者原创，2003年9月发表于上海某科普杂志。.

作者: 美犬之爸 时间: 2006-10-4 20:38 标题: 谢谢

谢谢老姜。你是高手，我是刚上路的新手，请多关照！！！

作者: lilysheng69 时间: 2006-10-4 20:51

2.

作者: 美犬之爸 时间: 2006-10-4 20:55 标题: 请问老姜高手

还有一题：

某计算器可以接受整数数对，并且通过一个键按照如下的规则来改变数对，当原来的整数数对（a+b)中的两个数之和a+b除以4分别余0，1，2，3时，输出的结果依次为（a+1，b），（a，b+1），（a-1，b），（a，b-1），如果按10次键后得到（1，17），那么最初输入的数对中的后一个数是_____。
这些是2000年预备年级的招生试题，小女在练习，碰到难题，只好请教高手，谢谢！.

作者: 老姜 时间: 2006-10-5 08:26

引用:

原帖由 美犬之爸 于 2006-10-4 20:55 发表
还有一题：

某计算器可以接受整数数对，并且通过一个键按照如下的规则来改变数对，当原来的整数数对（a+b)中的两个数之和a+b除以4分别余0，1，2，3时，输出的结果依次为（a+1，b），（a，b+1），（a-1，b）， ...

这个问题宜倒过来推导。

由已知，输入数据（a，b)后，输出的数据因a+b除以4所得的余数不同，有（a+1，b），（a，b+1），（a-1，b），（a，b-1）四种可能。

于是，反过来，根据输出的数据是（m，n），我们可以推断输入的数据不外乎是（m-1，n) ，（m，n-1)，（m+1，n)，（m，n+1)四种可能。

举例而言，对按10次键后得到的数据为（1，17），则按9次键后得到的数据为（0，17），（1，16），（2，17），（1，18）中的一个或几个。

下面逐一验证上述四个数据。

如果是（0，17），则因为0+17=17，17除以4余1，按照规则，输入（0，17），理应输出（0，17+1），也即输出（0，18）才对呀，于是这种可能被排除了。

如果是（1，16），则因为1+16=17，17除以4余1，按照规则，输入（1，16），理应输出（1，16+1），也即输出（1，17），于是这种可能需要保留，作进一步核实。

如果是（2，17），则因为2+17=19，19除以4余3，按照规则，输入（2，17），理应输出（2，17-1），也即输出（2，16）才对呀，于是这种可能被排除了。

如果是（1，18），则因为1+18=19，19除以4余3，按照规则，输入（1，18），理应输出（1，18-1），也即输出（1，17），于是这种可能需要保留，作进一步核实。

从上面的分析来看，按10次键后得到的数据为（1，17），按9次键后得到的数据为（1，16）或（1，18）。

继续倒推。

如果按9次键后得到的数据为（1，16），则按8次键后得到的数据依然有四种可能，经检验（方法同上），只有（0，16）是合乎情理的，其他三种情况都应舍去。

如果按9次键后得到的数据为（1，18），则按8次键后得到的数据也有四种可能，经检验（方法同上），这四种情况均不合乎情理，全部舍去。

可见，实际上，按9次键后得到的数据为（1，16），按8次键后得到的数据为（0，16）。

思路大体就是这样，最后可知，最初输入的数据是（4，12）或（6，12）。所以，最初输入的数对中的后一个数是12。

姜老师今天要出门去“逍遥”，7日回沪。因而家长们这两天的问题，恕不能及时作答。

在这里预祝各位考生放稳心态，考出理想成绩。

如果有可能，请考生们将答案记下来，姜老师回来后会为大家批阅的。.

作者: 禹儿妈妈 时间: 2006-10-5 12:58

作者: 美犬之爸 时间: 2006-10-5 21:43 标题: 谢谢姜老师

非常感谢姜老师的耐心解答，有困难再来麻烦姜老师！

作者: 豆芽妈 时间: 2006-10-6 15:27 标题: 问题

今天考试如何

作者: 老姜 时间: 2006-10-7 17:23

老姜千岛湖钓鱼回来啦！

家中扫描仪罢工了，只能用数码相机翻拍试卷，效果欠佳，大家包涵。.

图片附件: 1.JPG (2006-10-7 17:23, 211.66 KB) / 该附件被下载次数 56
http://ww123.net/attachment.php?aid=27545

作者: 老姜 时间: 2006-10-7 17:27

标准答案

（1）4；
（2）7；
（3）92；
（4）118；
（5）10235；
（6）6；
（7）75；
（8）50，25；
（9）135，225，315；
（10）88；
（11）267；
（12）240。.

图片附件: 2.JPG (2006-10-7 17:27, 199.94 KB) / 该附件被下载次数 47
http://ww123.net/attachment.php?aid=27546

作者: 静若处子 时间: 2006-10-7 17:48

谢谢姜老师

第七题错了啊

作者: 杰克之母 时间: 2006-10-7 17:51

老姜真是牛啊，谢啦。儿子考完回来我问了问这次的出题情况，居然回答我，出了考场就全忘了。

刚看到你的卷子和标准答案，又问了他，回答是错了2题，咳，真是没办法。.

作者: 静若处子 时间: 2006-10-7 17:58

我们对下来又错一道

这下可能是录取不了啦

作者: 静若处子 时间: 2006-10-7 17:59 标题: 回复 #85 杰克之母的帖子

你们错在哪两道？.

作者: 杰克之母 时间: 2006-10-7 18:07

3，12

。居然计算错，粗是粗心的来。

作者: 杰克之母 时间: 2006-10-7 18:18 标题: 回复 #静若处子的帖子

你家宝贝不会也错题吧？？？看来这次希望不大了

作者: 静若处子 时间: 2006-10-7 18:29 标题: 回复 #89 杰克之母的帖子

你们比我们好，我们错在7和12.

作者: 杰克之母 时间: 2006-10-7 18:39 标题: 回复 #90 静若处子的帖子

我看我家的猪宝宝也好不到哪里去。这次题目不难，全对的人应该不少吧

。.

作者: Jessie_Shi 时间: 2006-10-7 21:44 标题: 回复 #83 老姜的帖子

作者: 老姜 时间: 2006-10-8 06:26

今年WW上考业余学校的其实并不在少数，但很多人在考试结束后选择了沉默。除非刻意低调，要不然，有一种解释就是可能不太理想吧。所以我奉劝楼上各位BBMM尽可以放宽心，你们的成绩还是不错的。

今年参加考试的有1000人左右。有家长在短心里打听今年招生的人数与录取分数线。老姜在这里告诉大家：一，具体招的人数与分数线都还没有最后确定；二，即使定了，这样的消息，也只有等官方宣布了，我不好在外面乱讲的，这是纪律。

对您的孩子来说，希望与失望并存，要注意调节好孩子的情绪。告诉他们：考试结束了，生活还在继续。.

作者: 宝宝龙的妈 时间: 2006-10-8 09:02

姜老师,错五道有希望吗.

作者: 宝宝龙的妈 时间: 2006-10-8 09:04 标题: 回复 #93 老姜的帖子

我儿子很粗心,全部会做,可是粗心的很,您说错5道还有希望吗?我已经忐忑不安了好几天了,可是儿子一点也没有什么,心痛.

作者: 静若处子 时间: 2006-10-8 09:05 标题: 回复 #93 老姜的帖子

老姜此言有理

不管考试成绩如何,不管录取与否,生活还是要继续

作者: 禹儿妈妈 时间: 2006-10-8 09:40

大概什么时候可以知道录取结果呢? 是通知到学校里的么?.

作者: 老姜 时间: 2006-10-8 11:27

引用:

原帖由 禹儿妈妈 于 2006-10-8 09:40 发表
大概什么时候可以知道录取结果呢? 是通知到学校里的么?

无论录取与否，均通知到校。

11月上课，具体时间待定。.

作者: 老姜 时间: 2006-10-8 11:28

引用:

原帖由 宝宝龙的妈 于 2006-10-8 09:02 发表
姜老师,错五道有希望吗

今年试卷偏简单，按照往年，应该是有希望的。.

作者: 禹儿妈妈 时间: 2006-10-8 11:46 标题: 回复 #98 老姜的帖子

那我们就等学校通知了, 无论录取与否

[ 本帖最后由禹儿妈妈于 2006-10-8 13:01 编辑 ].

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