儿子学方程了。交流下来，发现他周围的同学甚至老师当中仍然有一种根深蒂固的观念：即同一道题目，能用“数学方法”解出来才算厉害，用方程解出来不算本事。

我当即纠正说，应该叫“算术方法”而不是数学方法。方程解法才是数学，算术不算数学。

人们运用各种方法解决数学题，目的是为了解决问题而不是为了展示智巧（貌似奥数比赛是后者），当然以解决方法优美简练为上。作为数学方法在优美简练之外还有一层要求，通用性。这个方法到底能解决多少问题，是能解决一类问题还是只能解决一两个问题。方程显然在通用性上完胜算术方法。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2013-11-14 12:06 编辑 ].

在我看来，华罗庚杯比赛的题目是诸多奥数比赛中比较有数学味的。其中又以早期的比赛题目为上，到后面就更加套路化一些。当然，要连续出高质量的题目也真的不容易。例如，第一届华杯赛初赛试题第16题：

有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟?

这就不是典型的能够直接套用已有题型求解的问题，需要学生仔细研读，找到问题的实质或者说关键。这是一道难得的好题目。不会做没关系，跟孩子多讨论几次，从各个角度去尝试。.

虽然我不主张孩子花很多工夫去搞奥数，但是如果孩子已经出于各种原因在学奥数了，也可以设法把奥数变得更有数学味一点。

什么是数学味？这个问题很大，也无法一两句话讲清楚。不过从辅导孩子学奥数的角度，可以这样说，就是那种能从中学到“what”而不仅仅是"how"的题目。所谓what，就是数学“是”什么，这个题目涉及的数学知识是什么，这些数学知识里有哪些关系和数量；然后才是how，即如何求解眼前的问题。

请注意这不是在鼓励孩子背题型记公式（这是奥数培训中最黑暗的地方）。我想说的是，数学知识是一个体系，人们可以从不同的角度切入去学习，学到的东西可能在不同的场合都能应用。学习数学，要尽可能全面地去了解这个体系的方方面面，然后才能融会贯通、举一反三；而不是今天学习一个特殊的方法，明天学习另一个方法，然后就像一个拿着铁锤的木匠，眼里看到的全变成了钉子。数学学得好的，应该是先理解眼前的问题，然后再有选择地使用各种工具。

所以，从培训班回来，家中不要急着帮孩子改正他做错的题目。可以让孩子自己讲一讲，今天学了些什么东西，最有意思的是哪些，为什么有意思。然后再来看练习中做错的题目，错在哪里，哪个知识没理解。.

这一段说得好!.

谢谢。有感而发。.

看到很多人说，奥数课上教了很多有用的方法。这是误解。奥数课首先教的是课堂内不教的一些知识。为什么课堂内不教，自然有道理，我以前说过很多，这里就不重复了。

为什么大家会有这个误解，有两个主要原因：其一，奥数题看起来比较难，要用一些比较特殊或者巧妙的方法求解；其二，奥数被认为是思维的体操，可以锻炼思维能力。

其实，奥数之所以难，是因为一般人不接触那些知识。至于思维的体操，其实是不存在的，世界上没有脱离问题的方法。奥数课上学到的，也就是解决奥数问题（以及升学）有用罢了。

不过，既然要学奥数，还是要尽量把数学味学出来，避免养成“看什么都是钉子”的恶习。.

这几天编写了一个小软件，自动会出固定数量的题目，要求小火车在一分钟之内全部做对。不对就要重新来过，直到满足要求为止。题目是随机的。

目的是为了训练小火车高度集中注意力的能力。他经常计算错误。检讨下来，其实又不是不理解，就是做题目的时候没有全神贯注，注意力不集中。这也就是大家常说的“粗心”。

“粗心”不是仅仅口头要求孩子“细心”就可以改正的。要有一定程度的高度集中注意力的训练。上面的训练花费时间并不长，但是通过调整难度和题目数量，可以训练孩子高度集中注意力的能力。

“粗心”也不是熟练度不够，或者说不仅仅是。我不认为通过大量的反复练习就一定能凑效，而且大量反复练习容易导致孩子的反感。通过限制时间，迫使孩子全神贯注；如果做到了，很快就能通过，不用花太多时间。.

打算寒假把这个软件改进一下发布出去。.

回复 59楼火车是运茶的 的帖子
打算寒假把这个软件改进一下发布出去。


期待ing.

谢谢。在此之前可以先在iPad上安装一个舒尔特方格应用，做成了游戏形式，还是挺好玩的。
搜索Schultz tables即可。

舒尔特方格是纯注意力训练。我要做的软件是带计算训练的。.

Introduction to Mathematical Thinking
https://www.coursera.org/course/maththink.

嗯，让小朋友换一种语言重新编写，需要点时间。.

经过一段时间的努力，小朋友已经做出能供他自己玩的版本了，稍加改进就可以发布Alpha版本了。

经过训练，他的计算正确率有了大幅度提高，而同时并没有增加很多负担（除了编程、调试比较花时间）。.

速度也上去了.

觉得很崇拜！.

这些天抽空看了一下加州的小学数学教材。感觉他们编教材的人很有水平，非常注重概念的引导和发展，同时结合现实问题加以运用，学生学得灵活、扎实。这是国内的教材比不上的。

另外不赞同区分数理逻辑和语言逻辑。逻辑就是逻辑，逻辑能力是合理运用知识和材料的能力，这不限于数学物理，可以说是贯穿了人类思维的方方面面。有些人在数学方面表现的逻辑能力强，那是因为他们对数学知识、数学结构等比较敏感。有些人在日常语言运用方面表现得说话富于逻辑性，这是因为他们的思维比较缜密，同时很了解生活中的各种常识和规则，故讲出来的话比较容易让人接受。

换句话说，逻辑能力本身有高低，但是只要在某一方面能够展示出来，就说明其逻辑能力达到了那个高度。至于为何没有在其它方面展示出来，那是在其它方面掌握的知识等不够多而已，而这是可以通过学习解决的。

数学不仅仅是一个个孤立的知识点，以及一个个具体问题的解题方法。数学知识之间有其内在的联系，掌握这个联系才算是真正学到了数学。至于解决问题的手段和方法，应该是在掌握数学知识的基础上，加以灵活运用去掌握；靠刷题刷出来的，终究要还的。.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2014-2-14 10:33 发表
这些天抽空看了一下加州的小学数学教材。感觉他们编教材的人很有水平，非常注重概念的引导和发展，同时结合现实问题加以运用，学生学得灵活、扎实。这是国内的教材比不上的。

另外不赞同区分数理逻辑和语言逻辑。 ...

说得太好！
我一向认为理科的概念是最为重要的，而现在大部分人认为会做题才有用。。。。
非常认可和支持你前面的所有的内容。.

谢谢支持。.

因为担心影响视力，儿子的程序要暂停开发。做好了我会通知大家的。.

孩子长大了，可以听我的课了。同时我也想把同样的课讲给更多喜欢数学的孩子听，这样我的孩子也有一起学习的伴。为此，我决定开个班，讲一些好玩的数学。第一次讲课是免费的，欢迎大家来听，看看我讲的课有没有帖子里写的那么好，值不值得后面花钱来学习。注册商家ID等手续后面会展开。公开课的场地、时间在和某机构商谈中。

授课目标是小学四年级和五年级的学生。三年级里特别优秀的也可以来听听看。我反复说过，我不会做奥数培训。我可以保证，我要讲的内容，是大家在奥数培训班上学不到的。有部分内容在以前的帖子里披露过，但是没有系统讲解过。不嫌麻烦也可以去翻一翻。希望我的课程，能让小朋友们真正喜欢上数学。

学生的学习将在课堂上由本人指导完成，不布置或尽量少布置课后作业。但是课后的消化吸收可能需要一些时间。.

我希望孩子们尽量在课堂内完成课内内容的学习，不要养成上课不专心听讲而依赖补习或者课后练习的习惯。因此，对于应该由老师在课堂上讲解的，我不会专门去讲，除非孩子理解有困难，或者需要我从新的角度去串起来。换句话说，我不打算把它办成一个补习班或者学习班，而是一个能帮那些对数学有强烈兴趣、在课堂内不满足的孩子学好数学的讨论小组。反映在教学上，不会是“讲解题型或知识点——刷题”的模式，而是由我主导、孩子参与讨论的模式，并且尽量少留课后作业。.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2013-11-13 20:53 发表
今天看到新闻说一个17岁高中生做的软件被雅虎以三千万美元收购。看了看这个孩子的确实蛮厉害的，不光是编程，而且数学学得很好，综合用到了很多统计、概率以及语言学的东西，来对一篇文章进行自动摘要汇总。

其实 ...

“跳过低年级内容直接学习高年级内容是可行的”-----------同意你这个观点。我在儿子自己瞎捉摸C语言的过程中也有一点的新发现，本以为编程语言需要孩子具有更强的逻辑思维能力和数学功底以后才能学习，后来发现孩子自学得还比较顺利。.

关注！.

同关注！.

我的解法和标准答案略有不同。我的总体思路比较明确，就是要把复杂问题变为简单问题。循着这个思路比较容易找到解法，否则就只能靠灵机一动或者以前见过类似题目了。.

太可惜了，我家小孩小了些，离你的最低要求低了两个年级，我觉得小孩就是需要开拓视野的老师，可惜我不具备这样的能力。希望你的计划顺利，以后还能开些低年级的班级。.

谢谢支持，我会在课后把部分教学内容简要分享出来。大家可以跟贴提问。.

这个教学模式好，不知道这位爸爸准备在哪里开班？.

在和某机构商谈中.

能透漏一下在哪个区吗？如果太远，只能
当然，如果能利用网络教学，那就更好了.

如果在我家里教就是徐汇，如果去机构的地方就是长宁。.

谢谢！关注楼主下一步进展.

由于精力有限，不再开班，仅在家主持数学讨论小组。详情请参见另一个帖子：http://ww123.net/thread-4865189-1-1.html.

留下脚印    认真拜读    真是好老师.

感觉LZ是数学和计算机复合人才。歪楼请教一下，孩子暑期高中毕业，想学C\C++，主要是偏重算法的，不考证不准备从事IT，上海有什么比较好的推荐，谢谢。.

要上大学的人了，当然得上coursera了.

谢谢，会试试看。不过在线课程有点像在家里健身，很容易走神。。市面上提供的培训确实太低端。.

对了，不建议学c++
可以学java,scala,python等.

能简单说说为什么？是C++很难学吗？学编程，主要是对QUANTS一类工作有点兴趣。.

这可是含金量超高的工作。好眼光。

C++应该有一定用处，主要是对延迟要求特别高的那些。但是即便这一块也在被蚕食，毕竟它是比较老旧的语言。scala正在兴起。其函数式编程能力特别适合高并发的计算环境。

有特定应用目标的话，可以都学。艺多不压身。.

长知识了，多谢！.

哈，火车先生， 我现在也在开班呢，出发点和你一样的！
暑假可能开个圆桌理科乐园！.

第二个题目不难。

因为该图形是联通的（即没有和其他所有的点都不相连的点），那么从任意一个点出发都可以不经过某一点2次到达其他任意一个点（可用数学归纳法简单地证明）。我们可以把从任意A点到B点的不经过某一点2次的某种联通路径称为AB路径。AB路径的特征是，除AB两个点各有一条线段相连外，其他的点都有2条线段相连（一进一出）。我们可以证明或或简单看出AB路径可以从A点或B点开始一笔画。

假设从A点出发能一笔画，现在任选B点开始，可以把一笔画任务分解为，从B到A的AB路径的一笔画，及除去AB路径后的原图形从A开始的一笔画，这两个任务。从B到A的AB路径可以一笔画。除去AB路径后的原图形，是一个A点和B点为奇数点，其他点为偶数点的图形，可以从A点出发一笔画。

这样，第二个问题就被证明成立。.

暑假我还是要上班的呀.

没想到95#又把一笔画提出来了。

关于一笔画第一个问题的证明，真的能用数学归纳法证明出来吗？
数学归纳法的基础是递推。给定顶点有无数种作图方式，递推这一步如何进行？.

也请仁兄看看97楼的问题。.

没有人来挑战一下吗？好吧，百度百科上那个用数学归纳法的证明是错误的。.

你问的是我的以下这个判断吗？
“因为该图形是联通的（即没有和其他所有的点都不相连的点），那么从任意一个点出发都可以不经过某一点2次到达其他任意一个点（可用数学归纳法简单地证明）。”
我想了一下，似乎数学归纳法有点难，但可以用构造法简单证明。午休时多写几句，请指正。

一，判断一个有限的点集是否通过连接点和点之间的线段“联通”的，可以定义以下识别方法：
       首先，从该点集中任选某点pi，对pi考察其余所有点和它的联通关系。存在三种情况(1)其余所有的点都和pi直接相连，出现这种情况即识别为“联通”；（2）其余部分点（其集合记为Ci）和pi直接相连，部分（记为Ui）不和Pi直接相连，（3）其余全部点与pi均不直接相连，直接判定为“非联通”。  
       其次，在（2）的情况下，再对Ci考察Ui与Ci中每个点的关系，存在三种情况（1）Ui中的每个点都和至少一个Ci中的点直接相连，出现这种情况即识别为“联通”；（2）存在部分Ui中的点（Ci2）和至少一个Ci中的点直接相连，其余部分Ui中的点（Ui2）与任何Ci中的点都不直接联通。（3）所有Ui中的点都不和任何Ci中的点直接相连，则直接判定为“非联通”。
       每重复一次判断，不出现（1）和（3）的判断结果的话，Uin所包含的点的数量必然减少至少1个，所以在有限次步骤后，必然会得出“联通”或“非联通”的判定结果。
       注意到每次判断步骤中的Cin集合中的点和点之间是否相连不影响最终的判定结果，并且待判定部分的点和已联通部分的点集中一个点相连还是多个点相连不影响最终判定结果。

二，构造法证明“因为该图形是联通的（即没有和其他所有的点都不相连的点），那么从任意一个点出发都可以不经过某一点2次到达其他任意一个点。”

      从某点a开始，可以通过如下方法找到至少一条不经过某一点2次到达其他任意一个点的路径。
      首先，选出所有和a直接相连的点Ca1，这些点显然和A之间存在我们要找的路径。
      其次，擦去Ca1中的点和点相互直接相连的线段。根据之前的判定方法，我们知道擦掉这些线段不会改变联通性。
      根据定义，在除去a点和Ca1中的点的其余点Z里，必然有部分点和Ca1中的至少一个点直接相连。于是，我们将Ca1和Z中的哪些点直接相连。考察完毕后，擦去Z中的点和点直接相连的线。如果Z中某个点和Ca1中1个以上的点直接相连的，只保留一条直接相连的线段，其他擦掉（根据判断方法，这不会改变联通性）。
      重复以上步骤，可以把一个联通的图转换为一个顶点为a点的树状图。任何一个其余的点都有一条唯一的路径，“从下往上” 地，不经过某一点2次到达a点。.