引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2012-10-27 12:12 发表 
要不我这么说吧：一般学生学数学，也不要唯逻辑推导至上。其实对于资质一般的孩子，更加不要去死抠推理过程，先搞明白“是什么”更加要紧。通过逻辑推理得来的“为什么”往往只是一种幻象。
同意。对于一个未知的问题，总是先有猜想才有推理，而猜想依赖的是直觉，直觉又产生于体验。所以，探究问题顺序正好反过来，依次是：体验，产生直觉，提出猜想，推理验证。
举个例子，一道经典的数学题，背景是印度国王、奖赏、国际象棋的棋盘、麦粒什么的，大家都知道，也不多说。题目是计算：
\[2^0+2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{63}=?\]
儿子预初，所以，对他来说，几乎唯一的思路就是试算找规律。例如前n项的和构成数列：
\[1,3,7,15 \cdots\]
由此猜想规律为：
\[2^1-1,2^2-1,2^3-1,2^4-1 \cdots\]
即猜想：
\[2^0+2^1+2^2+\cdots+2^n=2^n-1\]
n是项数。
但这仅仅是从有限项数推出来的。儿子不得不承认，它是一个猜想。虽然他自己可以凭直觉认定这个猜想，但却无法说服质疑它的人。毕竟生活中有这样的例子，今天是晴天，明天是晴天，后天还是晴天，而大后天却是雨天。
当我们在研究问题时不想局限于问题本身，企图寻找具有普遍适用性的规律时，就必然面临如何从一二三到无穷大的问题。解决的办法有一个，那就是证明。（不过即使最严格的数学证明，都不是绝对意义上的证明。这是深层次的数学问题了。）
儿子尽管承认这个问题，面对证明却依然一筹莫展。于是，我们继续体验：
由猜想：
\[2^0+2^1+2^2+\cdots+2^n=2^n-1\]
再猜想：
\[x^0+x^1+x^2+\cdots+x^n=x^n-1\]
把2换成一个我们熟悉的数字试试呢：
\[10^0+10^1+10^2+\cdots+10^n=10^n-1\]
可是 ... 不对啊：
\[111\cdots1 \neq 999\cdots9\]
当然，不难对猜想进行修正：
\[10^0+10^1+10^2+\cdots+10^n=\frac{10^n-1}{9}\]
验证下，确定无误。
可是，9又是怎么回事儿呢？没方向了。好吧，我们继续体验，让 x=3 再试试。
...
在数学学习中，如火车老师所言“它是什么”，一定要有猜想，甚至错误的猜想，都是有意义的，比数学的证明更具有普遍意义，更重要。
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本帖最后由 ccpaging 于 2012-10-27 13:13 编辑 ].
