2009年上海高考题给我们传递的信息
2009年上海高考题给我们传递的信息
撰文/大罕
一、重新认识高中数学的重点内容
按上海高考近十年来的出题规律，重点内容是数列、函数（含三角函数）和解析几何。但09年试题打破了惯有的做法，例如第13题：函数函数y=2cos2x+sin2x的最小值是 . 这类题过去一般是列为大题的，在本卷淡化处理为填空题，一方面考虑了人们的习惯，另一方面有意将人们的视线加以转移。统观全卷,除数列、函数（含三角函数）和解析几何仍不失为重点之外,新增教材内容如概率统计亦应列为教学的重点。
二、全面地处理教材内容。
本次试题涉及的范围较之往年更加全面。几乎覆盖了高中数学的知识点，特别加强了对新教材内容的涉猎。例如极坐标参数方程，往往是冷点内容，不会引起人们的足够注意，继07、08两年没有考题后，本次在第10题中出现。这就告诉我们，一定要认真对待教材的每一个内容，不可偏废。
三、着力点在推陈出新。
推陈出新，是上海试题的一大亮点。这份试卷依然保持这一特色。
例如，分段函数是教材的传统内空，如果拘泥求函数关系式，求函数值，判其性质，不过是老生常谈，本次高考题第20题给出的分段函数，把它巧妙地嵌入心理学测量的背景下，很有新意，颇具时代感。新的视角，一方面给研究函数单调性赋于了鲜活的意义，另一方面也给考生增加了难度。难，难在平日训练不够，总把函数性质当成机械化的行为，一个计算器包打半壁江山。
又如第22题，讨论互为反函数的函数的“a和性质”和“a积性质”，根之于教材，发散于教材，“功夫在诗外”，既有现场咄咄逼人的气势，也给学生发挥能力广阔的空间，对考生无疑是一次严峻的挑战。
四、慎重地对待新增教材内容。
教材新增的内容，几乎一个不挪地在试题中出现，行列式（第3题），算法的程序框图（第4题），概率统计（第7题数学期望，第13题方差的应用，第16题概率的计算，第17题中位数众数与方差），向量（第19题空间向量，第21题方向向量）。这里给我们一个明确的信号，即新增内容绝不是应景之物，而是实打实的硬通货。不幸的是，新教材多安排在高三时段进行，这一时段师生们正忙于赶进度，教师匆匆忙忙，学生囫囵吞枣。这回吃了大亏，不能不是给我们敲了一次警钟。
五、重点还是放在基本知识，基本技能，基本思维方法上面。
基础知识，基本技能和基本思维方法，是中学数学教学的根本，丢掉了这个根本，就会迷失方向误入歧途。静观本卷，不难发现三基的思想贯穿于整个试卷，罗列如下：
第1题，共轭复数的计算；
第2题，集合的计算；
第3题，行列式的计算；
第4题，程序框图；
第5题，异面直线所成的角；
第6题，三角函数的最值；
第7题，数学期望的简单计算；
第8题，涉及球体积的等式变换；
第9题，椭圆焦半径三角形的面积；
第10题，极坐标系下直线围成的三角形面积；
第15题，实系数一元二次方程有虚根的充要条件；
第16题，互斥事件有一个发生的概率；
第19题，二面角的计算；
第20题第⑴问，证明单调减函数；
第21题第⑴问，直线与双曲线渐近线平行的条件；
第22题第⑴问，验证函数的“1和性质”.
以上共有82分，占整个试卷分数的大头。
六、强调常用的数学思想和解题方法的培训
数学思想和解题方法是中学教学的灵魂，丢魂就会失魄。机械照搬，胡碰乱猜，粗枝大叶都是不行的。
1．数学知识的综合应用和灵活运用。
第12题，已知函数f(x)=sinx+cosx，项数为27的等差数列{an}满足an∈（-π/2，π/2），且公差d≠0，若f(a1)+f(a2)+…+ f(an)=0，则当 k 等于_____时。本题把三角函数与数列有面地联系在一起，解题时要抓住函数f(x) 在（-π/2，π/2）上是增函数，又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为a1+a27=a2+a26=…=2a14，所以当k=14时，f(x)=0.
2．数形结合的思想。
第11题，当0≤x≤1，不等式cos(πx)/2≥kx成立，则实数k的取值范围是__________。
解析：在同一直角坐标系下分别作出y=cos(πx)/2和y=kx的图像，转动直线y=kx便知。
第14题，将函数y=-2+√(4+6x-x2)（x∈[0,6]）的图像绕坐标点原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α)，得到曲线C,若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图像，则α的最大值为__________.
解析：函数y=-2+√(4+6x-x2)（x∈[0,6]）的图像是一段弓形，按逆时针旋转，使之与x轴相切，此时转过的角就是α的最大值。
3.转换命题的思想.
第18题：圆C：(x-1)2+(y-1)2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足
SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ，则直线AB有（）．
（A） 0条（B） 1条（C） 2条 （D） 3条
解析：由已知SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ，得：SⅣ-SⅡ=SⅢ-SⅠ，第II，IV部分的面积是定值，所以，SⅣ-SⅡ为定值，即SⅢ-SⅠ为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。这里就用到了转换的思想，把条件SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ转换为SⅣ-SⅡ=
SⅢ-SⅠ，而SⅢ-SⅠ为定值，问题便迎刃而解，快捷方便。如果用其它的方法，则需要较高的计算技能和技巧（参见
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aeef05d0100dj80.html）。
4.直译法仍是解题的首要方法.
直译法,全称为照直翻译法,也称为顺藤摸瓜法,顺路走法.解基础题如此,解难题莫不如此.
第20题,求证当x≥7时，掌握程度的增加量f(x+1)-f(x)总是下降,怎么证?把f(x+1)-f(x)算出来,再进行分析即可.
第21题, 一条直线l与双曲线C的一条渐近线m平行，求直线l的方程及l与m的距离,如实写出就可以了.
第22题,在读懂题意的前提下,先求g(x)=x2+1(x>0)的反函数g-1(x),再求出g-1(x+1);另外由g(x)求出g(x+1),再求出g-1(x+1),两相比较,是否满足“1和性质”立马可知.这不正是典型的直译法么?
压轴题第23题：已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列。
⑴若an=3n+1，是否存在m、k∈N+，有am +am+1= ak? 说明理由；
⑵找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n∈N+, an+1/an=bn,并说明理由；
⑶若a1=5,d=4,b1=q=3,试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明。
以上三个小题的解决，无一不是直译法开路，直译法前行。.
