你们的教法和我们以前很像，没有教材，想到什么教什么. 不过我们遇到瓶颈，停滞了很长时间了。.

能详细说说吗？是什么样的瓶颈？.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2013-3-4 10:50 发表
能详细说说吗？是什么样的瓶颈？

就是上次和你说过的，平面几何和因式分解。 以前学习就是我随便讲讲，他就懂了一点，然后出几道题给他做做，以后再看《要命的数学》等，慢慢的理解就逐步加深了。但平面几何不能这样学，我随便给孩子讲讲，然后让孩子证明三角形内角和等于180度？让孩子尺规作图？显然都不行。
因式分解是因为我没有给孩子练习过列方程解题，所以代数思维不够。
小学数学太简单，初中开始也无非有理数无理数，分数乘除法，指数对数等，这些概念都不难，入门后做作题目看书逐步加深理解就可以了。

寒假我给孩子买了《代数任我行》《玩转几何》，想用老办法学平面几何和代数，结果孩子看了几十页，插满了不懂的标签，根本没办法进行下去。而如果不学几何代数，后面的知识没法进行。 平时和孩子的亲子数学还是那些老知识点，孩子没劲我也没劲，已经快名存实亡了.

好吧。先不说为什么，给你几个继续学习的选择：
1、进入数学的系统自学阶段。代数和几何都可以《数理化丛书》为范本。
2、以构建的方式重新学习小学数学的基本概念，把基础夯实。
3、暂停数学的课外拓展，把校内的学习搞好（当然包括习惯等），把更多的精力放在语言文字的学习上。.

你孩子还小，根本不需要着急.

之前我也是遇到瓶颈,才转换到现在这样的模式来的.穷则思变.
元旦前,我已经按照教材讲完了奥数2年级的课程.然后发现他基础不够,3,4年级的课程没法往下教. 包括:分数,小数,百分数,质数,因数分解,最小公倍数等.还有一些是他生活阅历不足而造成的概念无法理解，比如速度,相遇追及问题等.
而对于这些基本概念,我发现混着讲,是比较好的方式. 让他从最开始,就了解这些概念和知识点相互之间的关联.
老师教的知识点,一章一节,是独立而竖向的.而我自己讲的时候,就横向讲,但只讲最基本的.将来老师讲的时候,也不至于觉得都会了而不仔细听.
如果他自己愿意竖向往深了想,那当然最好. 我希望他的知识结构,是象树叶的脉络,是网络状的.一条路走不通的时候，能想到用其他办法来解.乘法公式忘记了,可以用加法. 除法想不清,可以用减法.
至少这2个月看起来效果不错,也许将来还会遇到问题.也许等基础打好了,又会回到教材,系统地进行竖向加深.
法无定论,师法自然.我不断地思考和修正自己的方法.我不去考虑这个是几年级该学的内容,这个是人为地分割了知识点的关联.
适合当前情况的,适合小孩的,他有兴趣学,能理解和接受的,就是好的..

回ccpaging 和jiangying ， 确实是不急，只是看到山下清风的帖子有感而发。现在主要精力在英语语文上， 我准备明年暑假再系统的学习数学。.

个人体会，数学的知识体系是三维的，加上时间轴，那就是四维，像一个不断生长的山脉。这个山脉的基础则是生活实践。

我同意您的发现。数学知识中的有些部分内部的联系十分紧密。如果是一对一或者是一对几个学生开展教学，应该使用您所说的网络状的教法。学生在这种教法下，可以很好地掌握数学知识之间的联系，体验感悟其中的发展变化。若再结合数学史，参差一些趣闻轶事，效果也不错。

遗憾的是这种教法不能运用于30人左右的学校课堂。因为学生在小学阶段，个体之间的差别很大。我认为，这是由于每个学生生活实践的场景所不同造成的。有些偏重于数，有些偏重于形。有些偏重于长度测量，有些偏重于空间变化，有些则喜欢棋类策略等等。不同的生活实践场景使每个学生对不同的数学知识的敏感度不同。所以，学校的数学老师只能讲大家共同有体验的部分，程度还不能太深。所幸的是随年龄的增长，平衡是自然发展的规律之一，学生个体的差异趋于减小。那时，又可以上大课了。

师法自然，顺势而为，也是我带孩子学数学的基本原则。孩子的发展顺其自然，数学本身的发展也是顺其自然的，所以，我相信自然会引领孩子登堂入室，进入数学的殿堂。话是这么说，但顾虑到歧路的存在，到底还是不敢彻底地任其自然。大概这也就是法无定论的含义吧。干预就干预吧，心存对自然的敬畏。不知者不为，从孩子的自然行为中找到下一步的方向。知道的，则小心施为，不求有功但求无过。

数学启蒙的内容是十分丰富的，现代数学的大多数分支都可以在启蒙阶段找到源头。但粗略地仍然可以分为形与数，动态与静态，方法与思想。世人往往重数轻形，易静难动，巧于法而拙于思。其实于孩子来说各方面都是可以萌芽的，只不过教育的偏颇造成了孩子后天的偏颇。先读张景中先生的《感受小学数学思想的力量》一文，颇受震动。后在实践中细细揣摩，均衡发展确有其功。

以您前面所说孙子点兵为例，同学为什么会兴奋，原因之一大概是于看似无序中触摸到规律吧。而形有时甚至更容易让同学体会到这一点。对小一的孩子来说，试试画正方形，您可以示范，让孩子观察然后自己学着画，也许可以让孩子体会到几何秩序的力量。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-3-5 06:58 编辑 ].

我自己是一边学习，一边摸索，一边在教. 有您这样过来人指点一下,会轻松很多.
我有个想法，象您这样有理论,有方法,有实践经验的,能否办个针对低年级的数学思维启蒙班? 这样象我这样的家长就能省力很多了。

不知者不为，从孩子的自然行为中找到下一步的方向。
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这句太正确了。
上周末ww玩球,他努力地把球平行地扔出去，然后马上开始跑过去，期望在球落地前接住. 多次未果后，他说了一句: 我追不上球,因为我的速度没有球的速度快.
终于对速度有点概念了。然后就跟他讲了速度，时间，路程，相遇/追及，路程比是速度比，静水/逆水/顺水速度。前几个月照教材讲过，但他不感兴趣，我讲了2题，也没继续讲。现在觉得到他有点领悟的时候了。
他还出题目考我，2人相距10米，1个人速度是1，1个速度是2，几秒钟相遇。我说，你算算看呀。然后他悲剧地发现，数字没凑好，除不尽。说3秒还多1米。 我说可以用分数么，他想想说，一个走了1/3，一个走了2/3。
重数轻形，估计难了，因为我自己也是数字强，图形弱的，解图形的题目，中规中矩，一点没有灵活性。最好楼主开个思维启蒙班吧，我一起学。
弱弱地问一句，正方形怎么画啊，用直尺+量角器？ 角度，量角器他们还没学呢。直接用直尺画，如果他说还有菱形呢，怎么办啊。
用对角线相等来画？那还是要2条对角线是直角啊。怎么画他能理解？.

能否办个针对低年级的数学思维启蒙班?
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这个问题我在儿子大班的时候就想过，当时是考虑是否要送到外面去思维启蒙。后来我想明白了，低年级的数学启蒙班开不得的。为什么呢？这个时候的孩子不定性，还不能做到某日的几点到几点就进入一个数学时间。当时儿子上了一个幼儿园里边的思维班，为了上好这个思维班，我先要计划好，使他上课时有旺盛的精力，上课之前还要给他余热。一个不注意，他就在课堂上出问题了，要不打瞌睡心不在焉，要不精力过于旺盛作出过激的举动。

这个年龄的孩子从心理上对父母是相当依赖的，对他们来说，跟父母在一起玩的快乐是最最重要、无可替代的。清楚了这一点，我宁愿带他去公园玩数学也不要他去上数学启蒙课了。

关于形，从您说的情况看，可以暂时先不画正方形。先完折纸吧，折纸飞机。我儿子玩折纸一直到小学五年级，这是他主要的课间活动内容。.

关于速度，一开始孩子也不理解，当时我是吃饭时从吃饭速度开始讲，然后过渡到行走速度，就理解了。.

确实是这个问题.
小孩的思维启蒙是要根据他自己思想进展情况,来进行有针对性的启蒙.
在这点上，随时关注他的家长，才最了解.也最能根据情况而采取对应的对策.
有时候,我们要做的就是等待，等待他长大并理解,这时候教,才能事半功倍.
只是,对家长的要求比较高.对我这种没教育系和数学系背景知识的家长来说,比较辛苦.
要准备奥数知识点,要学习和思考知识点之间的关联,哪些能混在一起教; 要考虑怎么教,才能让他听懂;要关注他思想变化的情况和生活中的事件,等待教的时机点.

折纸类,幼儿园里是一直有玩的,LG也教他折纸飞机的. 昨天我还看到他拿回了一个青蛙(?) ,可能是学校手工课学的吧.
有道小蜜蜂里的折纸考题,根据折痕的虚和实,来判断4 次折的先后顺序. 我是看得发晕,一点没头绪.他一下子就看出来了.
想想自己小时候也玩折纸啊,怎么没考虑过折痕的关系呢.
可能还是个人对数学里数/形/空间/逻辑,或其他方面的敏感性不同. 同样的事件,个人领悟不同. 而这种敏感性会一直持续到成年..

楼上厉害的，从吃饭速度能引申到速度问题.
我家吃饭时,不跟他讲数学问题的,要求专心吃饭.怕吃饭不专心,光思考了.
不过我们经常在洗澡的时候讲数学. 从练习数数和口算,到讲解新的问题.速度问题,就是在洗澡时讲的.
他还会问，为什么我躺下去了，水就升高了。看来还要开始准备物理启蒙了。.

可能还是个人对数学里数/形/空间/逻辑,或其他方面的敏感性不同. 同样的事件,个人领悟不同. 而这种敏感性会一直持续到成年.
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所谓敏感度不同，不过是孩子还小接触到的东西有限。美国的小学数学教师用书上曾经这样说，一个孩子如果没有测量过，他是不可能真正理解长度的概念。同样的，如果孩子没有负重，也不可能理解重量，没有疯跑，也不可能理解速度。据说，很多男孩子都对速度着迷，“更快一点会是什么感觉呢？”

随其自然的生长，孩子探索未知的欲望就会让他接触到越来越多的东西，所以，如果不是特别的干预随其自然的话，对不同事物的敏感性会发生变化，不同孩子之间的差异也会越来越小。当然，差异不会消失。人上一百，形形色色，有差异也是正常的。无所谓啦，又不是培养超人。

我也产生过这样的想法，如果知道孩子将来有数学特长，那么，从小培养他，他的成就会更高。其实，这是事后诸葛亮。孩子小，我们根本不可能知道这个孩子是否有数学特长。基因技术也还没有找到数学因子吧？有没有都还是未知数。而且还有一个大麻烦，已有的教孩子数学的方法和理论都是基于学龄儿童的，就算要培养，也是一个试验，风险很大哦。

在学科特长的培养上，个人比较欣赏犹太人的做法，在小学阶段任其自由发展，把重点放在语言文字上。等到了初中，孩子的特长显现出来再予以系统的培养。当然，家长的兴趣爱好发乎自然应另当别论，带着孩子玩总是可以的。

数学等理科类学科的系统建立在人类文明发展史上是比较晚的。在个人的发展而言也要稍晚一些。质疑是理科的基本习惯，但认真的质疑最好是有了一定的解决问题的手段和能力之后。否则，只是问却不能凭自己的能力找到解答，则可能被灌输，可能失去继续质疑的自信，反而不美。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-3-6 22:21 编辑 ].

人有八大智能,能通过早期(幼儿园/小学低年级)的细心观察,和一些专业的测试,能够分辨出来.这样能进行针对性的培养.
我认为对数字,图形,空间,逻辑思维,棋类策略等的学习和领悟上,天赋本身是有差别的. 有些小孩, 能靠大量刻苦做题,熟悉各种题型,而得个三等奖. 而得一等奖的，还是有天赋的小孩.
比如解一道题,可能要尝试10种,甚至100种不同的可能。而感觉敏锐的,潜意识里就知道往哪个方向上去尝试,可能尝试2,3次就能出正确答案.
而家长要做的，是尽早认清天赋.既不拔苗助长,又不放任不管.

赞同楼主的,到初中阶段再进行系统的培养的理念.
但小学阶段,还是不能完全放任自由了.可以任其自由发展.同时培养兴趣,培养探究的习惯,也是非常重要的.
就如前面帖子所说,如果低年级开始,不养成动脑的习惯, 到高年级,就不愿意动脑.
到时候再要系统培养,没有兴趣和好习惯,能坚持多久?.

我觉得让孩子爱上学习就等于是娱乐了.

网上偶尔找来一题.巧算 54+99*99+45=?
按标准教法,是45+54=99, 99+99*99=99*(99+1)=9900.
结果,小家伙又一次让我意外了. 他说99*99=9801, 然后9801+99=9900.
只会小九九的他,怎么口算出99*99的呢? 他说100*100=10000, 10000-100=9900, 9900-99=9801.
为什么先减100,后减99呢? 回答说先减一行，再减一列. 这个明显是从方阵中来的. 很好的数形结合啊.
过一阵要准备睡觉了，一边泡着脚,他一边说: 刚才那个(算法),还不是最简单的。用98*100,再加1,就好了。
我都快晕了。 连(a+1)*(a-1)+1=a*a, 都知道了?
问他怎么知道,他说,他先拿 0*2和1*1比 ,再拿1*3和2*2比...当然,以他现在的计算水平，不可能一直算到99的。
估计这个结果,是他先猜想，再从0开始验证，推理出来的.不过对一个一年级小朋友来说,也难能可贵了。
元旦后，就没教他奥数新的内容，一直随他玩, 拿小方积木摆成实心和空心的方阵啊，玩七巧板，小玻璃珠子等等.
昨天刚订好圆形的七巧板，他很期待呢。
元旦前教得太赶，硬塞了很多知识进去。结果到竞赛前，不肯看书，不肯做习题，成绩也不太满意。
而这段时间，应该就是他巩固，消化和吸收的过程。没有学习新的奥数知识点，没有复习，习题都没做。
现在我明显感觉到他对数学的兴趣恢复了。上周买回来一本亲子数学的书，他一直做得很有兴趣，早上出门前10分钟都要看2题。
看来学习也要一张一弛，学完一段，要给他吸收和领悟的时间。学校都还有寒暑假呢，学完一段，身体和精神上，都要休息一下。
想想现在的培训机构，春季班，秋季班，寒假班，暑假班，只要学生有点空，一年课程可以从年头排到年尾。
学什么，做什么习题，难度如何逐步加深，针对某个竞赛的特别训练，都有人安排好了。只要跟着走，学到那些知识点没问题，竞赛拿个奖，也大有可能。
但是，这样的学习时间和节奏的安排，真的有足够时间，让小孩自己领悟了吗？或者，只是固化了知识点，通过反复的训练，熟练做某些题目。
看来以后，要在教之后，留下足够时间，让他体会和领悟。只是这个分寸，比较难拿捏。.

正方形方阵么，a*a
一列走出来，还剩下 a - 1 列
添到行上，行多1
呀，还有一人孤悬阵外

如此可知，(a+1)*(a-1)+1=a*a。

可见，教习数学之道唯在于激发孩子的想象力。一道题目，他惦记着想上一天，所得自然是只思考1分钟做完题了事所不能比的。.

目前还在看亲子的数学书. 居然被他发现两处印刷错误.上学期某竞赛的赛前辅导书也是.
我自己看得马马虎虎,他是认认真真,一个字一个字读过去的,连图片旁边的标示都读，所以错误就被他发现了。
每次发生这种情况，我是非常不满意. 校对工作也太不认真了呀. 让一年级小朋友来做校对,实在说不过去.
有小一家长问我：她家的小朋友，一定要自己做题，但每天只有半小时做数学,花两天时间才能做一道题,是不是太慢了?
我说:小朋友靠自己的努力,精做一道题,比家长灌输后,做同等难度的10道题,效果更好.
前两天又爬了一遍楼.很多观念比之前又清晰了不少.
在某个数学群,不断地引导家长们形成正确观念:
小孩兴趣最重要.要引导,不要灌输.
贪快硬喂的,会吃撑,消化不了,还会反胃.
只有小孩自己学到,领悟到的,才真正是自己的.
学习不是题海战术,先搞清概念后，再适当做题.
否则只会做教过的题,遇到没见过的题型就傻眼了。
家长的理念很重要. 我在这里学到了很多，也努力传播开去。
希望更多的家长有明确的理念,知道why,知道how,学好数学并不需要吃苦..

一直想写这个部分，但是总有许多疑问，自觉说不清楚，也就不敢写。众多的疑惑中，“方程”便在其中。什么是“方程”？这个词从哪里来的？它的字面意思是什么？我问过不少人，都说不清楚。在网络上，我能搜索到的“方程”见于《九章算术》。

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九章算術卷第八 方程
　　〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？
　　荅曰：
　　上禾一秉，九斗、四分斗之一，
　　中禾一秉，四斗、四分斗之一，
　　下禾一秉，二斗、四分斗之三。　　方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。餘如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。
======================================

学过初等代数的人见到这段文字觉得很惊奇。三个三元一次的等式求唯一解，老祖宗多厉害啊。为了彰显中国萌芽期数学的成就，于是牵强附会地“方程”引入初等代数。

可是，同样是这段文字，不懂代数的孩童会如何看待呢？那不就是一种巧算的“方”法（或者“程”式）吗？！一部分孩子错误地以为“数学”就是学一些技巧，然后在同学中显摆。“哼，你们傻眼了吧？还在冥思苦想，我三下两下就做出来而且还是对的。”一旦孩子坠入这样的迷途，就可能将学数学变异成向老师讨教方法然后熟练之，没有疑问，没有思考，没有山重水尽疑无路柳暗花明又一村的惊喜，真正的数学思想和真正的数学方法与之无缘。也许成绩并不会立刻下滑，因为他们可以凭借自己的刻苦和老师的勤奋（搜集各种技巧在几分钟內讲给孩子听，搜集各种题目让孩子练，那可是非常累人的事儿哦）取得较好的帐面成绩，但是他们学习数学的方法却停留在萌芽期，他们的数学思想也停留在萌芽期，却试图去解决古典数学的问题，自然会越来越累越来越难堪其负，最后（一般是初二左右）成绩一落千丈。那时，他们就如一个古代人穿越到现代，根本听不懂老师在讲什么，更解决不了那些需要古典数学才能解决的问题。

从代数启蒙的角度说，我们应该抛弃“方程”忘掉“方程”，学代数就用代数的概念，不可再为了彰显所谓祖先的光辉再妄用这些概念。以数学的眼光看，《九章算术》不过一习题集，体现的不过是“民使由之，不使知之”的陈腐理念，中国的古代算术也没有发展出真正的数学，如此返祖于学生何宜？.

说的好！.

酱香烤黄豆
http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f5c1dbc01015wl7.html
咩头脑和兔高兴

准备材料:干黄豆约100克,盐5克,棉白糖25克,鸡精3克,蚝油25克.
所需工具:光波炉或烤箱.                                                                          
制作过程:
1.准备材料
2.黄豆用清水浸泡一晚
3.涨大的黄豆滤去水分,倒入盐,糖,鸡精和蚝油
4.搅拌均匀后平铺入烤盘（由于锡纸或油纸较易粘连，所以建议直接使用烤盘）
5.光波或烤箱预热
6.烤箱：将烤盘放入烤箱中层，180度45分钟左右
光波炉：将烤盘放置在低架上,光波175度40分钟左右(外层微酥脆)

函数与变量
初等数学以函数最难以理解。函数的英文是Function，又译为"功能"。光波炉的功能之一便是于难将息的春夜烤个酱香黄豆。把泡好的黄豆入炉,在火力和时间这两个主要变量的影响下，进行动态变化的过程，这就是函数，酱香烤黄豆的函数。
不同的变量值导致不同的函数结果。
F烤黄豆(火力，时间)
用数学表示就是
F(x,y)，x 代表火力，y 代表时间。

F(0,0) 是这个样子的（图最右）：

1.jpg (26.6 KB)

2013-3-30 23:16

2.jpg (29.58 KB)

2013-3-30 23:16

F(180度, 45分钟)是这个样子的（以烤箱为例）：

调整大小 3.jpg (36.94 KB)

2013-3-30 23:16

如何启蒙
这个问题很难回答。本来这是一个自然的过程。动态变化的过程，孩子每天都能观察到的。可是，经过长期刻苦训练后的小五生、预初生，也许已经习惯于具体数字的计算了，甚至完全脱离了生活，那他们就比较难于理解了。我观察到有些初中生一直到了高中都还在试图用算术的思想和方法去解题，也许是因为他们在小学算术中的表现太好了，总想着重温过期的辉煌。但从数学的发展看，萌芽期数学根本不可能有机会超越古典数学，否则大家就只能听到“算术”这门学科而不是数学了。张景中老师在写给小学数学老师的信中特别强调动态函数，或换言之以动态过程的眼光去研究数学，我猜想，大概就是这个道理吧。

当然，启蒙并不是那么简单。就照我上面的讲法讲给孩子听，他们未必能明白。但其实也不必去“教”，理解函数的概念是一个长期的体验和悟的过程，看看人类完成这个过程用了多少时间就知道了。我们所要做也不复杂，引导孩子多关注自然界中时时刻刻发生的各种变化，尝试做探究其中的规律，足矣。到了初中，体验和感悟的差不多了，老师再“升华”一下，孩子自然就恍然大悟了。如果有例外，那就很可能是人之“教育”社会之“教育”扭曲了孩子，使孩子与自然之“教育”脱离了，没有受到自然之“教育”的光辉照耀。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-4-17 14:43 编辑 ].

ccpaging象个诗人,生活皆是诗,生活皆是数啊.
天气反常,周末小朋友发烧,晚上去吊盐水了。老问我多久能吊完.只好让他算,一瓶盐水250ml,1ml是20滴,护士调的速度是30滴/分钟，要多久滴完.
估计发热头晕影响了他的计算,漏了10倍,简单2位乘1位计算也出状况。
算算要近3个小时.吊了一个小时，忍不住调快一点.又过了大半个小时，又调快一点,希望快点结束回家睡觉去.
今天又吊水了，护士调的速度是40滴/分钟.后来还是忍不住调快一点.
等他病好了,一定出个题目做做. 滴液速度,与吊水时间的关系.还要加上变动的滴液速度.这样对理解速度问题，估计有帮助..

怎么知道1ml是20滴？是问医生的还是自己假设的？.

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2013-4-2 12:29 发表
怎么知道1ml是20滴？是问医生的还是自己假设的？

这是个好问题。.

点滴不能自己随便调速度的吧.

我们大概算一下吧, 娱乐娱乐。一毫升=1立方厘米。 假设每滴是直径3毫米球型，体积=3/4 * 3.14 * 0.15 * 0.15 * 0.15= 0.014. 那么 1/0.014=70滴..

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2013-4-2 17:21 发表
我们大概算一下吧, 娱乐娱乐。一毫升=1立方厘米。 假设每滴是直径3毫米球型，体积=3/4 * 3.14 * 0.15 * 0.15 * 0.15= 0.014. 那么 1/0.014=70滴.

有的孩子会这么想，1毫升有多少滴呢？也许他们会采用实验的方法。做个1毫升的纸盒子也可以用来做实验的，当然是在家里用自来水啦。
也有的孩子会运用比例的方法来计算，昨天是每滴多少分钟多长时间挂完，今天是每滴多少分钟，估计多少时间挂完。其实，用比例来解决问题已经是中国在萌芽期数学中的最高成就了。因为它在某些时候可以突破人力的极限，例如测量太阳跟我们之间的距离，可惜的是计算结果不准确，因为古人不知道地球是圆的。

小学生学习数学的特点就是如此。大人看起来，他们既不系统又没有章法还莫衷一是。但不用担心，学数学的好处便在于它内在自恰，规律自在，正确的东西会自己冒出来的。所谓殊途同归是也。

不妨接纳孩子的想法，顺其自然跟着他走。大不了碰壁再回头反思。反正这也是学习数学的重要环节之一。

说起吊盐水，从大班开始，我就让孩子背一个小包，带上他的玩具、手帕、水。等他大些了，就带上书。如果我陪他，就会准备一些故事或者数学游戏。记得，有几次我们玩的是有关八进制数数的游戏。“在很久很久以前，在离我们很远很远的地方，有一个小人国，那里的人每只手只有四个手指。他们数数的时候只能数到7，然后就是10 ...”然后儿子扮演小人国的商人，跟我做生意，买卖饼或者苹果。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-4-17 14:46 编辑 ].

五年级的时候，曾经挂了15天盐水（其实不是大事儿，癣疥之患而已。但也正因为如此，药物要进入毛细血管发挥作用就特别慢），每天要坐3个小时左右的地铁往返，吊水要4-6个小时。要准备故事就没那么简单了。幸好孩子大了，可以自己看书，阅读或者学习数学。而我也只要陪着聊聊天在迷瞪一会儿就行了。.

20滴/ml,是我的经验值.用过多次,都没有问题.
恐怕是因为我不喜欢长时间的等待,但如果知道需要3个小时，我反而有耐心等待了.
学生时代，假日去锦江乐园玩. 我也要根据排队人数和放行速度，算下排队需要多久,然后决定是否值得玩这个项目.
最简单的办法,小朋友小时候用的药,有些带滴管的，都有一毫升的刻度线.直接吸取一毫升,一滴滴地,滴完就测出每毫升的滴数了。.

滴管－－是个好东西。小时候，我特别喜欢收集这些有趣的玩意儿。针头、滴管，各种盒子瓶子。带刻度的，往往是我的收集品中的高级货。有些是没法收集的，例如秤，就照了样子自己做。

儿子也有这个习惯。只是我不再像我的父母，而是鼓励他去做。.

前一阵买了《帮你学数学》和《可怕的数学》里的代数和几何两本，都是经常听到，让我心里长草的。
《帮你学数学》选的张景中的书里，最简单的一本。然后随手一翻，貌似买早了。
估计要三下，或者更大一些读，比较合适。我们一年级，有些难了。
以前买过李毓佩的书，故事情节多，老虎/猴子/小熊之类的，问题内容简单，他不喜欢读，估计觉得太简单了。这次又买难了。
想了想，还是坚持一下。从《帮你学数学》里找了个三儿子分羊的故事，读给他听。
刚开始1/2，1/3，1/9，到后来变成1/x+1/y+1/z+1/w=1, 1<x<y<z<=w。  这种式子，看看还可以，读起来舌头都要打结的。
实在读不下去了，借口烧菜，把书扔给他自己读，他还有兴趣往下看，对空酒瓶子换酒一节，也有兴趣读。
还好寒假讲了一点点分数的基础，否则估计看不下去的。

放假第一次带小朋友去了图书馆，放假要提前闭馆，匆忙抓了几本数学类的科普书回家。
然后发现杯具了，一本《趣味数学》，居然写明是给初中学生的。全部都是用方程解决问题的。
不过小家伙没被吓倒，翻到最后一个游戏《生命》，有生存/死亡/新生 三种状态变化的，就要我陪着玩。
摆了一个小时的围棋子啊，我都累了，他还乐此不疲。
第二天又到电脑上找同名的小游戏，自己设定不同的起始图形，玩个不亦乐乎。
一会叫我过去看，说图形会向着某个方向跑，一直到碰到边界。可惜我在厨房忙，根本没时间过去看。

还借了《牛顿的小屋》和《爱克斯探长》，没来得及读。
感觉《爱克斯探长》牵涉到X,Y什么的，可能早了点。《牛顿的小屋》估计比较合适，题目比较有趣些。回头试试看。
现在给他买科普书太难了，要么太简单，要么太难，现在就只能随便翻翻，能读多少，是多少。
关于X,Y和方程，一年级就接触，是不是太早了？我是想先学算术，到4年级再讲方程的。LG说方程会了，奥数题目都不难。纠结中，各位前辈有什么建议吗？.

所谓“方程”会了，其实就已经具备初等代数的能力了。那时，当然视小学奥数如草芥。小学奥数再难都脱离不了萌芽期数学的那些东西。

让孩子在小学阶段就具备初等代数的能力，这是很吸引人的想法。但这并不意味着孩子的思维发展可以跳过萌芽期。前面说，函数是对动态过程的规律的描述。如果孩子不是积累了足够的静态值的计算知识，怎么可能有足够的能力掌握动态过程呢？让孩子在小学这个阶段积累足够的体验和感悟，这是一种顺孩子思维自然发展规律的选择。

同时，不跳过萌芽期并不意味着放弃代数的启蒙。事实上可能恰好相反，在教学中要特别着力于代数启蒙。因为代数也是从萌芽期数学中走出来的一个分支。这个代数启蒙当然不是单指“方程”，方程究其原意不过是“方法和程式”。代数启蒙的重点是思想的启蒙。吸引孩子关注自然界发生的各种动态过程，积累体验，感悟其规律。

要研究代数启蒙（更正下，说的大一些，要研究大学以前的数学教育），余以为，一定要看两本书，笛卡尔的《方法》与牛顿的《自然哲学之数学原理》。

另外，萌芽期数学的特点是混乱，但是包罗万象、内容丰富。除了代数以外，其它的数学分支也有在萌芽期的印迹。例如，概率，统计优化，加密解密等。当然，还有几何。初中学习几何的目的是体验和感悟数学的公理体系。要感悟这一点，几何是最古老也是相对容易介入、容易被接受、容易理解的公理体系。

所以，数学启蒙很可能是一个人一生中最重要的数学学习阶段。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-4-7 13:50 编辑 ].

“方程”会了，根本不能视小学奥数如草芥。 方程对盈亏问题，行程问题有效，但对数论，排列组合，几何等无效。.

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2013-4-7 14:08 发表
“方程”会了，根本不能视小学奥数如草芥。 方程对盈亏问题，行程问题有效，但对数论，排列组合，几何等无效。

现在的小学奥数已经是走的太远了 ... 用正常的教学方法不使孩子变态的话，已经遥不可及。非常即妖。妖，也是非常的尽头了。.

《牛顿的小屋》我们也借过，难度适中，不过只有题目，单调了一些。
关于X,Y和方程，我原本也觉得一年级就接触，太早了。想着先用算数的方法解题，练练脑子，23年级再学方程。但是最近想法变了，慢慢开始讲起来。现在每次作完题，如果能用方程解，我都给孩子讲一下用方程怎么解题，先让他对方程有个认识。.

现在的小学奥数确实太妖了，比几年前更难了，以目前的趋势，几年后难度又会上一个台阶。用正常的教学方法是肯定不行的。.

数量关系是方程的基础

没有搞清数量关系就学方程，慎重.

这个帖子是我看到的最好的教学帖。。。在满世界功利气氛下，嗅到一点学术精神。。就差没热泪盈眶了。。。。

谢谢LZ给一些爱思考的家长一些平台，共同探索学习的乐趣。。

分享一下我家姑娘在数学上碰到的问题。。

小女6岁，大班，实在是个数感很差的孩子，主要是我这个妈妈也懒惰，从来不给她训练加减法，在人家孩子都熟练100以内的加减法的时候，我们还在20以内偶尔加加减减，最明显的问题是数字本身和数学算式始终无法很好的融合。

例如：自己本来有10个苹果，给妈妈5个，然后爸爸又给了自己3个，那么现在自己有几个苹果呢？答案很快就出来了，8个。
但是继续问：请问你是怎么算出来的呢？ “不知道！”   是用加法还是减法，几加几，几减几呢？ “不知道！”

不知道大家有没有碰到这个问题，像这样的情况，应该如何改善？呵呵

我是在等待她的顿悟。。希望有一天她能突然想明白了。。

其实孩子思维能力不差，比如昨晚，我们在玩游戏，我给她出20以内加减法的口算，她给我出100以内加减法的口算。。看谁算的快。。

姑娘出了一道99-45，我说答案是54，然后她又出了一道，99-36，答案是63，哎，姑娘马上说了

：“99减去一个两位数，答案就是这个两位数的十位和个位数倒过来啊~~~”

刚刚得到这个答案，立马自己又推翻了说

：“不对，如果99-22，答案是77，就不对了！” 于是她自己又加了一条

：“99减去一个两位数，这个两位数除了那些十位和各位是一样的数，答案就是这个两位数的十位和个位数倒过来~~~”

刚刚对自己这个定义很满意的时候，我说了，那么你自己验证一下吧，从99-10开始，

很可惜，碰到的第一个，就推翻了自己的定义。。哎，小姑娘很沮丧。。没关系，继续来，99-11,99-12,99-13,突然发现，99-18，答案是81，和她下的定义相符。。

再继续，99-20,99-21，直到99-27，答案也是符合自己的定义的。

那么我们看看，18,27,36,45,54,63.....有什么共同点呢？

：“它们的十位数和个位数加起来都是9。”

于是，定义又变成了，：“99减去一个两位数，如果这个两位的十位数和个位数相加等于9，那么答案就是这个两位数的十位和个位数倒过来~~~”

这下，总对了吧。。

我很肯定了她的想法，小家伙也从这个漫长的过程中，体会到了思考和探索的乐趣，即便她的计算能力落后于同龄人，但是，她对数学的热爱，肯定是调动起来了。

另外，能否有人教教我，怎么让她把数字和数学算式很好的整合起来？这是我目前比较头疼的问题。。。呵呵.

我以为数学就是找规律，验证规律，然后证明规律。 恭喜，你女儿已经做到前两步了！.

引用:

原帖由 山下清风 于 2013-3-5 12:03 发表
我自己是一边学习，一边摸索，一边在教. 有您这样过来人指点一下,会轻松很多.
我有个想法，象您这样有理论,有方法,有实践经验的,能否办个针对低年级的数学思维启蒙班? 这样象我这样的家长就能省力很多了。

不知者 ...

这个很有意思，学习了，回去照葫芦画瓢，让小的对速度有个概念.

引用:

原帖由 nikkimama 于 2013-4-17 11:25 发表
小女6岁，大班，实在是个数感很差的孩子，主要是我这个妈妈也懒惰，从来不给她训练加减法，在人家孩子都熟练100以内的加减法的时候，我们还在20以内偶尔加加减减，最明显的问题是数字本身和数学算式始终无法很好的融合。

例如：自己本来有10个苹果，给妈妈5个，然后爸爸又给了自己3个，那么现在自己有几个苹果呢？答案很快就出来了，8个。
但是继续问：请问你是怎么算出来的呢？ “不知道！”   是用加法还是减法，几加几，几减几呢？ “不知道！”

不知道大家有没有碰到这个问题，像这样的情况，应该如何改善？呵呵

我是在等待她的顿悟。。希望有一天她能突然想明白了。。

　　个人认为，不能给小姑娘下结论，贴标签，说她“数感很差”。她才6岁，还没有到判别发展优势、劣势的时候。要知道，你是她的重要他人，你对她的评价会自我实现——“皮格马利翁效应”，就是说，你认为孩子是什么样的人，后来她就成了你所认为的那种人。对孩子的评价最好就事论事，不要轻易上升为对其内在特质下武断的结论。何况，从你后面的叙述中可以看出这孩子的数感其实并不赖。

　　大人觉得容易的事，对孩子未必容易。例如，孩子能够正确地报出她思考的结果（8个），但她未必能够说清楚自己的思想过程（10－5＋3）。要求一个还没有正式上学的6岁小孩说清楚自己是怎么想的，是强人所难，揠苗助长。请允许我解释一下为什么。

　　如果你去看一看儿童认知发展心理学方面的书，就一定会知道儿童的思维经历了一个从“动作思维”到“有声思维”到“内隐思维”的发展过程。6岁的孩子处于“动作思维”阶段（个别早熟的神童除外），需要借助动作进行思考，就是说，一边做动作一边才能够顺利地思考问题。到小学，孩子会慢慢地进入“有声思维”阶段，不再需要做外部动作也能够进行思考。不过，她得边说边想。如果不让她发声说出自己正在思考的过程，她就无法顺利进行思维。这个阶段会持续多年，一般到小学高年级甚至更晚的时候，“思考的声音”才会逐渐从外部转向内部。也就是说，她无需把思考的过程说出来，也能够顺利地进行思考。“思考的声音”只是在脑子回响，这便是“内隐思维”了。

　　这个发展过程可以提速（有限），但不可以跨越。因此，你要6岁的孩子说清楚答案是怎么算出来的，就是一种超越孩子发展水平的蛮横无理要求，怪不得人家会干脆以“不知道”回应你！如果你想了解这么小的孩子的思维过程，你就不能只让她回顾和言说。应该想办法让她把内心的思考过程“做”给你看。例如，你可以买十来个小苹果回来，或者用棋子代替苹果，和孩子一起来做实验：

　　（1）先让女儿拿10个苹果，再让女儿分5个给妈妈，这时请女儿数一数自己还剩下几个苹果。在女儿数好之后，你一定要当着孩子的面把这个过程解释并表述为“10个苹果减去5个苹果还剩下5个苹果，10减5等于5"。
　　（2）请爸爸给女儿3个苹果，让女儿数一数自己总共有几个苹果。在她数好之后，务必要把这个过程描述和解释为“5个苹果加3个苹果总共有8个苹果，5+3等于8”。
　　（3）最后把整个过程完整地再做一篇，边做边和孩子一起说“10个苹果减5个苹果再加3个苹果总共有8个苹果，10减5再加3等于8”。

　　动手做这样的实验，是小朋友能力所及的事。把做的过程大声地说出来，这是小朋友在家长指导下通过努力可以做到的事，是她的最近发展区。因此光让她动手，苹果来苹果去地，她是不会有进步的。你现在的重点就是要指导和帮助孩子有序地做数学实验、并且把做的过程大声地说出来。这样她才能更快、更顺利地从“动作思维”向“有声思维”过渡。

　　实验可以不断地做下去：小朋友原来有10个苹果，后来爸爸又给她3个苹果，再后来她分了5个苹果给妈妈，现在她还有几个苹果呢？小朋友发现答案还是8。她会进一步发现：无论是爸爸先给苹果，还是后给苹果，并不影响妞妞可以得到8个苹果！这不是为她以后理解10—5＋3＝10＋3—5积累早期的生活经验么？.

那么，换句话说，我们在孩子学习数学的初期把数字限制在10以内20以内，是不是为了解决孩子实验的问题呢？.

引用:

原帖由 hxy007 于 2013-4-17 13:16 发表

　　个人认为，不能给小姑娘下结论，贴标签，说她“数感很差”。她才6岁，还没有到判别发展优势、劣势的时候。要知道，你是她的重要他人，你对她的评价会自我实现——“皮格马利翁效应”，就是说，你认为孩子是什么 ...

受教~~~看来还是我这个妈的方式方法有很大问题。。遵循孩子的自然发展规律，适当引导。。。。早点看这个帖子就好了。。不过现在也不晚。嘿嘿。.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2013-4-17 14:48 发表
那么，换句话说，我们在孩子学习数学的初期把数字限制在10以内20以内，是不是为了解决孩子实验的问题呢？

是不是一个从量变到质变的过程，类似达芬奇画蛋那样的反复之后，有些有悟性的孩子对数学的认识就有了质的变化，而有些孩子或许只要掌握基本的运算法则就可以了，他们可能在其他领域有更好的发展。。

这种分门别类的教育也只有在西方能实施了。。哎。.

还未拜读完所有的帖子，就被今天孩子带回来的作业难住了。不知怎样讲解。请赐教！先谢过。

1）
	好 学
+	学[/td] [/tr]
	学 好
好 =（ ）[/td] [/tr]
学 =（ ） [table=98]
2）
	上 学
+	学 上
学	学 好
上 =（ ）[/td] [/tr]
好 =（ ）[/td] [/tr]
学 =（ ）[/td] [/tr]

[/td] [/tr][/table].

前面发的格式有问题，修改了一下，再发。不好意思了。

1）       
        好 学
+            学
--------------------
        学 好
       
好 =（   ）       
学 =（   ）

2）       
        上 学
+        学 上
----------------------
     学        学 好
       
上 =（   ）       
好 =（   ）       
学 =（   ）.

每个字可以填入0-9这十个数字当中的一个。

我的建议是家长不要讲。而是运用007的3894#说的“循序渐进的辅导：从“动作思维”到“有声思维””，跟孩子一起尝试。如果家长在尝试过程中发现了某些窍门，可以引导孩子关注。如果没有也没关系，单纯玩就可以了。如果孩子主动提出一些建议或者愿意分享他们的发现，家长认真地倾听并予以肯定。.

我家小一的看了题目，第一题几秒种,第二题脑筋都没动,就答出来了。
第一题我还没想明白呢，他跟我说出答案了。我问为什么，他说2位数倒过来，差是一位数的话，肯定是9.所以，学是9, 后面就接着出来了89+9=98.
我想起以前他自己总结过规律的,2位数,十位和个位倒过来成为另一个2位数, 这样的2个2位数相减,差是9的倍数. 只是,我都没想到把这点用在这里.他是一下子想到,用到了。
第二题,他我以前出过一样的题目给他,是圈,方,三角的，他说，化为文字就是了。问题是，我看了这题，就没想到几个月前出过一样的题目呀.
当时他是先确定学=1,再用枚举法,从2到9,推出另一个数字上=9,然后好=0就自然出来了.
一分钟不到做完,然后说:简单,小菜一碟,又去看他最近着迷的元素周期表了..

如果家长或者老师来总结，教的是快了，还的也快。即使记性好没忘记，但孩子自己没有咀嚼过，掌握不了其中的道理。难免生搬硬套，不能举一反三。

看来还是自己总结的规律才不会丢掉。尽管总结规律不容易、花时间，但那是自己的。.