近期在整理一些数论的题目，数论题很有意思，不分大小、男女都能做，也都觉得难。
这是一道关于2007的题。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-12-23 07:43 编辑 ].

当年俺做过9^1991，9好办。2有些小麻烦。可能要和1024联系起来。.

大多数的数学题都是讨论末尾数字为多少，讨论最前面几个数字的题就算是“新题”了，难度的确是比确定尾数大一些。.

1024俺算过，到2^90次方乘以4都是4打头，100次方就不行了。.

关键是“2^2007是605位数，且首位数字是1”不知咋用，不会是跟2进制有关吧？.

201个.

200个，对吗？

[ 本帖最后由 duyan 于 2007-12-11 10:59 编辑 ].

引用:

原帖由 Ted老爸 于 2007-12-11 10:37 发表
201个

如果201个，2^2007根据推算只能是603位了，且首位数字是1。多了2次进位，则首位4的出现推迟2个周期，我想201-2=199可能对吧。.

我看规律是:2^2,2^12,2^22,2^32.....2^2002首位是4..

引用:

原帖由 Ted老爸 于 2007-12-11 10:48 发表
我看规律是:2^2,2^12,2^22,2^32.....2^2002首位是4.

那你没有看到上述数字的进位关系了。我想应该和进位关系一道分析才行。如2^(0-3)是一位数，2^(4-6)是两位数，2^(7-9)是三位数，2^(10-13)是四位数。因此，按照数位关系，推算出来2^2007只是603位数了，多进位了2次（题意是605位数），则2^(10n+2)不会全部是4首位数开头的n＝0,1,2,...200。
根据刚才的进位和数位推算，进位一次，则4首位数的出现后延一个3/4的位数周期。
2002到2006大于一个周期，小于2个周期。因此将会少出现一次4作为首位数。我想答案会是200了。

[ 本帖最后由 duyan 于 2007-12-11 11:00 编辑 ].

我想即使2^2007为605位(有两个进位),也不影响出现4的机会,因为假设的循环节为10.(4+3+3).

引用:

原帖由 Ted老爸 于 2007-12-11 11:25 发表
我想即使2^2007为605位(有两个进位),也不影响出现4的机会,因为假设的循环节为10.(4+3+3)

出现进位肯定会有影响的吧。
如2^n（n已经是足够大的）数是2xx.....x的时候，乘以4要有进位的话，乘以2的时候，首位数是5了，不会出现4了，这样肯定要少出现一次。因此，有2次进位肯定在2^2007之前已经有了2次进位，但也不能确定2^2006的首位数一定是几，还只有从进位的规律来推算了。
这个说明，2^2002次方的首位数肯定不会是4了。一定是后延了。.

已经产生进位了，那你假设的循环周期就会发生错位了，根据这个假设的结果肯定不会正确了。因为你没法证明这个假设一定是正确的。

[ 本帖最后由 duyan 于 2007-12-11 12:04 编辑 ].

这个倒是应该高中做的.

我知道了，每十个中最多有1个。.

上面几位答案还不是很对。根据对数可以计算得到2^2007=1.4696×10^604为605位数。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-12-11 14:20 编辑 ].

那就一个一个对出来？
就算对好了，也得数半天，嘻嘻。.

数字2^n，若n*lg2的小数部分<0.1，则2^n的首位数字是4。.

不需要使用过于“强大”复杂的手段。.

始乱终弃？
智力有限，认栽。
搬个凳子，认真听讲，争取早日初中毕业。.

我非常反对使用“强大”的工具来解决问题，所谓杀鸡用牛刀，通常说明没有发现问题的本质，50、60年代科普书籍都是真正的大师写的，一本本都很薄，深入浅出。
现在的书印刷、出版起来更加方便，所以不少“中师”、“小师”也都有机会出书了，但是有相当一部分写的厚重、繁杂来显示“功力”。
此题我下周上完课以后会即使给出解答。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-12-15 12:55 编辑 ].

顶上来，别给忘了。.

我周末上课以后会解答。.

设这个集合为S，显然他们中最大的数是604位数。很容易证明下面这个性质
性质1：如果a是一个首位数字为1的k位数，则2a、4a都是k位数，16a为k+1位数。
而8a不能确定，既可能是k位数，也可能是k+1位数。根据这个简单的性质，我们可以知道对于每一个1≤K≤604，S中都有k位数。假设ak是其中最小的k位数，则ak的首位数字肯定是1，不然的话ak/2就是一个更小的k位数，矛盾。所以我们有
结论1：S恰好有604个首位数字为1的数。
如果一个偶数b的首位数字是2、3，则b/2首位数字肯定是1，同时任意首位数字是1的正整数b，2b首位数字肯定是2或3。所以有
结论2：S恰好有604个首位数字为2、3的数。
如果一个偶数b的首位数字是4、5、6、7，则b/2首位数字肯定是2、3，同时任意首位数字是2、3的正整数b，2b首位数字肯定是4、5、6、7。所以有
结论3：S恰好有604个首位数字为4、5、6、7的数。
这样，S中还剩下2007-604×3=195个数，首位数字只能是8、9。
而首位数字是8、9的偶数b，b/2首位数字肯定是4，同时任意首位数字是4的正整数b，2b首位数字肯定是8、9.因此我们得到了我们想得到的最终结果：S中首位数字是4的数共有195个。.

很有道理，可惜还是晕。.

引用:

原帖由 cechooooo 于 2007-12-22 21:49 发表
很有道理，可惜还是晕。

初等不等于简单，解答用的知识的确很少。.

我们把S的2007个数进行分组，位数相同的数分在一起，根据24的讨论，我们知道共分为604组，每组要么3个数，要么4个数。设3个数的x组，4个数的y组。
则有x+y=604，3x+4y=2007，解得y=195，也就是说恰好有195组有4个数.
而每组第一个数数字为1，首位数字为4的数只可能出现在每组的第3个，并且如果它出现在第3个，它的两倍肯定还没有进位，所以这一组有4个数。另一方面，每组第3个数首位数字至少为4，如果第3个数首位数字不等于4的话，它的两倍就要进位了，所以这一组肯定只能有3个数。也就是说首位为4的数，和4个数一组的组是一一对应的。
因此S中恰好有195个数，首位数字为4。.

200个，同意9楼的做法。.

引用:

原帖由 wood 于 2007-12-23 07:54 发表
我们把S的2007个数进行分组，位数相同的数分在一起，根据24的讨论，我们知道共分为604组，每组要么3个数，要么4个数。设3个数的x组，4个数的y组。
则有x+y=604，3x+4y=2007，解得y=195，也就是说恰好有195组有4个数 ...

以位数分组是解决这道题的关键。.