问题：对于任意正整数x,y，如果x^2+xy+y^2是10的倍数，则x^2+xy+y^2必然是100的倍数。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-10-1 09:08 编辑 ].

证明：①由已知x2+xy+y2≡0(mod2)，因此(x+1)(y+1)=x+xy+y+1≡x2+xy+y2+1≡1(mod2)，因此x和y都是偶数，所以x2+xy+y2≡0(mod4)；

②又由已知x2+xy+y2≡0(mod5)，因此4(x2+xy+y2)=3x2+(x+2y)2≡0(mod5)，而对于所有的整数(a,5)=1，有a2≡1或4(mod5)，因此如果x与5互素的话，3x2+(x+2y)2≡0(mod5)不可能成立，所以x和x+2y都是5的倍数，因此x、y都是5的倍数，所以x2+xy+y2是25的倍数。

综上所述，x2+xy+y2必然是100的倍数。.

一个做法是由于x除以10的余数有10种，y除以10的余数也有10种，所以(x,y)除以10的余数共100种，枚举测试可以得到答案。这是没有办法的办法。
这道题是我在《数学奥林匹克报》编写专栏的时候，发现可以给初中同学练习一下。排版清楚一些的解答可以访问专栏。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-10-4 14:49 编辑 ].

这种题目最没意思.

好啊，又来一位编写《数学奥林匹克》专栏的老师，是家长们有福了还是孩子们有负了？ .

上面的结论其实是以下结论的一个推论：.