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[数学] 两道数学题的思考

1楼宏哥 宏哥 (......) 发表于 2009-6-30 14:02 只看此人

两道数学题的思考

经过了一段时间的恶忙，终于得以短暂的空闲来关心小孩子的学习了。

这两天看了一下小家伙的数学题，有两道题目引起了我的兴趣。题目大意如下：

1. 要排一个每边有25人，有6层的空心方阵，共需要多少小朋友？
2. 某人上楼梯一次可以上一阶或者两阶，问他要上5级台阶共有多少种走法，如果要上10级台阶有多少种走法。.

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2楼宏哥 宏哥 (......) 发表于 2009-6-30 14:07 只看此人

对于第一题我的解法是：

最外一圈每边25人，则里面一圈每边就应该是23人，接下去一圈每边21人，那么6圈每边人数应该是25，23，21，19，17，15

每圈人数应该是每边人数*4-4

因此各圈人数分别是96，88，80，72，64，56，则总人数为456人。.

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3楼宏哥 宏哥 (......) 发表于 2009-6-30 14:12 只看此人

谁知当我辛辛苦苦把我的解法灌输给他时，小子居然说我的方法不灵，说他有一个更好的方法，有公式：

空心方阵总人数=（最外圈每边人数-圈数）*圈数*4

看着这个诡异的公式，我禁不住怀疑其可靠性，当然要验证一下，果然：

（25-6）*6*4=456.

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4楼宏哥 宏哥 (......) 发表于 2009-6-30 14:21 只看此人

我就在想一个问题，这个公式是怎么推导出来的呢。

于是决定自己验证一下：

假设每边有X人，空心方阵有N层

那么最外一圈人数为： 4X-4
次外圈应该是： 4*（X-2)-4 （每靠里一层，每边会减少2人）
那么最靠里面的第N圈人数是： 4*(X-2*(N-1))-4

利用等差数列求和公式就可以推导出上面的公式.

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5楼隆隆爸

隆隆爸 (快乐是因为计较少) 发表于 2009-6-30 14:26 只看此人

宏哥，一出手，就是精彩之作啊！

希望引来更多精彩讨论！

[ 本帖最后由隆隆爸于 2009-6-30 16:53 编辑 ].

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6楼宏哥 宏哥 (......) 发表于 2009-6-30 14:33 只看此人

而第二题五层台阶我用穷举法可以算出有8种走法，但10级台阶我怎么也算不出来了。询问小子原来也有相应的公式，

如果上2层台阶，只有11，2两种走法
如果上3层台阶，可以有111，12，21三种走法
4层台阶，可以是1111，112，121，211，22五种走法
5层台阶，类似的用穷举法有八种走法

其规律是每增加一级台阶，就是前面两级台阶走法之和，即：

4层台阶： 5=3+2（3层台阶走法+2层台阶走法）
5层台阶： 8=5+3（4层台阶走法+3层台阶走法）

由此可以类推10层台阶走法为89种，我暗自庆幸幸亏没有用穷举法，否则就挂了。这个公式我是怎么也推导不出来，不禁佩服那些数学专家呀。.

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7楼宏哥 宏哥 (......) 发表于 2009-6-30 15:00 只看此人

回复 5#隆隆爸的帖子

解题本身不是关键，主要是通过这两个题目引发的思考，我们学习数学的目的和意义何在？

我认为其实我们学这么多年的数学，大多数都是没有什么太大作用的。想想真正我们日常生活中对数学使用了多少。

那么为什么我们还要学习数学呢？同时我们也可以看到现在的一种趋势，小升初选拔时对数学的重视程度已经超过了外语，难道那些教育学家或者是中学校长都是吃干饭的？

仔细想来，其实我个人认为学习数学最大的目的在于培养一种逻辑思维的能力，人们只有有了逻辑思维能力，才有可能更好地去学习。试想一个思维混乱的人有可能学习或工作很好吗。

原来，数学是帮助人们提高逻辑思维能力的一个重要工具。.

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8楼宏哥 宏哥 (......) 发表于 2009-6-30 15:11 只看此人

如果我的想法是正确的，那么就可以解释为什么现在那么重视数学了，学好数学意味着培养和提高可持续发展能力，所以现在很多学校都很重视数学。

如果是这样，我想我们应该给奥数正名。看到在好多地方，人们在批判奥数。对其残害青少年儿童的罪行口诛笔伐。其实我想奥数本身并没有错，发明奥数的人也没有错，错的应该是我们很多人看待奥数的心态和想法。.

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9楼宏哥 宏哥 (......) 发表于 2009-6-30 15:35 只看此人

所谓奥数本来就不应该和数学割裂开来，无非可能是解这类题目需要一些思考而已，就因为这点就得在其前面加个“奥”字以增加其神秘感，难道平时做数学题就不用思考了么？

我认为还是我们在对待奥数的态度中出了问题。

以我前面的题1为例，此题说难不难，做为小学生如果勤于思考，按照我的解法一步步分析推理应该也是可以做出来的。而孩子就在这个过程中逐步锻炼和培养他们的逻辑分析能力，我认为这就是奥数或者说数学的意义所在。

但是如果我们急功近利，直接给出公式，这样确实会提高效率，而且大大提高解题速度和准确率，以后只要看到空心方阵的题目直接一套公式，又快又好。但是这种没有过程的解题方法，其意义又在哪里呢。

问题是如果现在不给孩子公式，那孩子出去在参加各种竞赛时根本没有竞争力。人家小孩题目一看公式带入，1分钟解决问题，而这边还在辛辛苦苦地研究发现规律，怎么能够去比呢。

这就引出了一个问题，究竟奥数该不该学，该怎么学。.

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10楼宏哥 宏哥 (......) 发表于 2009-6-30 15:54 只看此人

这里想说明一点，我一点也没有批评直接给公式的意思。

每个人有每个人的想法，我们的老师也是很为难。你如果在那里吭哧吭哧推吧，还不是每个小朋友能够理解，而有的家长面对考试竞赛的压力，其思路有可能就是成绩当先。不出成绩就怀疑老师能力。老师迫于压力只能采取简便易行的方式，帮助学生总结规律，最后形成了一大堆的数学公式。学生根本不用去想为什么，看到什么题型脑子就去反映相应的公式即可。

这种教育模式，其结果就是看哪个老师掌握的题型面广，总结的公式最直接有效。而学生就是比看谁见过的题目多，到了考试的时候就是见过的题目就会做，没见过的题目就放弃。

当然这也是对学生能力的一种考验，但这是比谁的记忆力好，我想应该是与学习数学的培养目的不一致吧。.

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11楼宏哥 宏哥 (......) 发表于 2009-6-30 16:12 只看此人

讲到这里，我们家长应该怎么做，这个奥数到底要不要学。

我的想法是还是要学。因为毕竟逻辑思维能力还是相当重要的，现在研究生的入学考试就需要靠逻辑题，就说明逻辑思维的重要性。

那么对于家长而言，我认为也不能一概而论。毕竟考试升学也是重要的，套用公式确实有其明显的优势。但完全采取这种教育方法则不可取，我认为比较好的是二者的结合。既有分析思维的一面，又有应对考试的一面，而且二者结合可以让孩子更好地理解和记忆公式。

当然在孩子的不同阶段，两者的侧重点可以有不同。对于比较小的孩子，我认为可以多培养他分析归纳，找到问题的规律，对于较大的孩子，已经有了一定分析能力，同时又需要应对升学压力，可以多讲一些公式。

具体怎么做，我想这中间的选择和决定权还在家长，在给孩子报班的时候应该和老师有充分的沟通，让老师知道你的目的和需求，看是否与老师的教学思路相对应，同时也要结合孩子的自身特点，正确选择难度适宜的学习内容。.

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12楼宏哥 宏哥 (......) 发表于 2009-6-30 16:15 只看此人

我相信只要家长正确对待奥数，加上老师的悉心指引，孩子会喜欢上这个既有趣又好玩的东西。.

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13楼hxy007

hxy007 (小子几岁老子就几岁) 发表于 2009-6-30 16:34 只看此人

　　老大的分析比较理性、客观！如果大家都像您这样，对待孩子学奥数就会有正确态度和方向了。.

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14楼宏哥 宏哥 (......) 发表于 2009-6-30 17:00 只看此人

补充：题2的排列组合解法

10级台阶，每次走一级或两级。

假设A为走两步，B为走一级。则有下面的几种情况，最后一列走法数为每一种情况下对应的走法数量。

例如第二行，就是走4个两级台阶，2个一级台阶，可能是222211，也可能是211222，很多很多。其差异无非就是1和2的位置不同，其结果就相当于是在6个位置中放两个1，其可能方法就是C62

方案 A（两级） B(一级）走法数
全2级 5 0 1
4个2级 4 2 C62
3个2级 3 4 C73
2个2级 2 6 C82
1个2级 1 8 C91
一次一级 0 10 1

把所有的走法数相加就是1+ 15+ 35+ 28+ 9+ 1=89

此题难度~~~~

[ 本帖最后由宏哥于 2009-6-30 17:08 编辑 ].

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15楼ccpaging

ccpaging (今天大扫除) 发表于 2009-7-1 16:03 只看此人

怀疑是科学的本质

引用:

原帖由宏哥于 2009-6-30 14:12 发表
谁知当我辛辛苦苦把我的解法灌输给他时，小子居然说我的方法不灵，说他有一个更好的方法，有公式：

空心方阵总人数=（最外圈每边人数-圈数）*圈数*4

看着这个诡异的公式，我禁不住怀疑其可靠性，当然要验证一下 ...

楼主的怀疑和验证在这里是一个亮点，不能满足于老师给出的公式，遇“式”总是多问一个“为什么”，才能搞清楚来龙去脉。
至于说到应付考试，迫不得已使用些小聪明，大概每个人都很难避免。不过学问历来都是扎扎实实的，容不得半点虚伪。那些小聪明可以在胆战心惊中偶尔为之，如长期如此最终必是害了自己。.

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16楼ccpaging

ccpaging (今天大扫除) 发表于 2009-7-1 16:09 只看此人

引用:

原帖由宏哥于 2009-6-30 17:00 发表
10级台阶，每次走一级或两级。

假设A为走两步，B为走一级。则有下面的几种情况，最后一列走法数为每一种情况下对应的走法数量。

例如第二行，就是走4个两级台阶，2个一级台阶，可能是222211，也可能是211222， ...

这道题可以引申到自然归纳法，我们可以根据1、2、3的总结归纳出N的情况。

如果否认了1、2、3的规律可以用于4、5、6、、N，那么对规律的研究便失去了意义。
我们无法穷举和证明一个无限的集合，但可以根据一个有限的集合延伸到无限，这便构成科学的基础。.

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17楼童爸0928 童爸0928 (......) 发表于 2009-7-2 16:20 只看此人

回复 3#宏哥的帖子

小学奥数还搞什么记公式，那个奥数老师脑子进水了。小学奥数只有排列组合需要记一点点公式，别的题目没有什么需要记公式的。奥数的目的是锻炼孩子的思维，这个题稍稍变化一下，比如里面每圈的每边比外面一圈少4个人，这个公式就不灵了。宏哥自己教教，都比那个老师强得多。.

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18楼r33417 r33417 (......) 发表于 2009-7-3 18:46 只看此人

洋洋说第一题只要算出最外圈需要96人，内圈每缩小一圈减少8人·，6圈就得到96，88，80，72，64，56然后相加就可以得到456..

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19楼fifi_qian fifi_qian (最近比较烦) 发表于 2009-7-6 22:28 只看此人

精彩啊！

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20楼小小小青龙 小小小青龙 (......) 发表于 2009-7-8 00:12 只看此人

引用:

原帖由宏哥于 2009-6-30 14:12 发表
谁知当我辛辛苦苦把我的解法灌输给他时，小子居然说我的方法不灵，说他有一个更好的方法，有公式：

空心方阵总人数=（最外圈每边人数-圈数）*圈数*4

看着这个诡异的公式，我禁不住怀疑其可靠性，当然要验证一下 ...

路过，拜读了，LZ真是有心人啊！

第一题的公式，还想到个容易让小孩子接受的法子：
论方阵的各边长，第一圈的25和第六圈之间差12（即6*2），就是“圈数*2”；
那么边长的中间数就是“（最外圈每边人数-圈数）”；
如此一侧的边长和就是“（最外圈每边人数-圈数）*圈数”；
方阵四侧的总边长和就是“（最外圈每边人数-圈数）*圈数*4“了。.

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21楼隆隆爸

隆隆爸 (快乐是因为计较少) 发表于 2009-7-18 22:16 只看此人

谢谢分享！.

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22楼chb7501 chb7501 (......) 发表于 2010-12-23 15:42 只看此人

好贴，收藏！.

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23楼初一妈妈 初一妈妈 (最爱人间四月天) 发表于 2010-12-23 22:41 只看此人

顶！
虽然说实话，我没怎么看懂，呵呵。留个印，以后有用！.

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24楼隆隆爸

隆隆爸 (快乐是因为计较少) 发表于 2010-12-23 22:46 只看此人

呵呵，这些老贴子都被顶出水面了啊.

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[数学] 两道数学题的思考

两道数学题的思考

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补充：题2的排列组合解法

怀疑是科学的本质

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