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[求助] 奥数题，求解

1楼家长不易 家长不易 (茶@生活) 发表于 2009-4-25 12:35  只看此人

奥数题，求解

这是小五班的两道题目，没弄懂，不会做。只好在这里求助，谢谢了先！
1、求证：对于任意的14个自然数，一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f使得(a－b)(c-d)(e-f)是1001的倍数.

2、求证：一定存在能被1999整除的形如111……11（n个自然数）的自然数。.

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2楼4356278 4356278 (开学liao.....) 发表于 2009-4-25 13:09  只看此人
代数........
做不来.............
做过........忘了.........

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3楼Oriole Oriole (......) 发表于 2009-4-25 13:43  只看此人

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1. 1001=13×11×7
自然数除以13的余数一共有0-12，这13种。所以14个数里面必定有2个数除以13的余数相同。将它们中较大的记为a，较小的记为b，所以a-b是13的倍数。
这样14个数去掉2个还有12个数，同理，其中必有2个数除以11的余数相同，c-d是11的倍数。
剩余10个数，同理必有e-f是7的倍数。

[ 本帖最后由 Oriole 于 2009-4-25 13:49 编辑 ].

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4楼klarazq klarazq (人生是趟旅程！) 发表于 2009-4-25 13:45  只看此人
题目嘎难啊，阿拉不会！搬只小凳子做好，等老师讲解！.

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5楼Oriole Oriole (......) 发表于 2009-4-25 14:04  只看此人

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2
利用第1题的思路。我们可以构造，1，11，111，。。。。直到2000个1。
而这2000个数中必定有两个数除以1999的余数相同，那么这两个数的差一定能被1999整除，
这差为一串1111后面带一串零，那么这串1111必定被1999整除。而这串1111，就是符合题意要求的那个数。

[ 本帖最后由 Oriole 于 2009-4-25 15:51 编辑 ].

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6楼罗小星 罗小星 可能存在争议 发表于 2009-4-25 15:31  只看此人
第一题要有点抽屉的概念.

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7楼家长不易 家长不易 (茶@生活) 发表于 2009-4-25 18:17  只看此人

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懂了。有劳你了，非常感谢！.

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8楼ywdmhy ywdmhy (......) 发表于 2009-4-27 23:04  只看此人

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第二题有些迷糊，当时叫孩子问老师，但是胆小没敢问。
疑问是：一串1111后面带一串零，那么这串1111必定被1999整除 ???
貌似需要证明：1后面带一串零是不能被1999整除的，这样才能将这串零舍弃，得出这串11111能被1999 整除。
如果没有这个证明，那将题目中1999改成任何正整数都可以吗？那我去成偶数，比如4，6，8之类，明显就是一个不成立的命题。
还是请哪位高手或者猫老师亲自给咱讲讲？先谢谢了。.

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9楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2009-4-28 00:09  只看此人

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俺来试试

1111...11110000...0000=1111...1111x10^k=1111...1111x(2x5)^k
1999分解质因数不存在2或者5
所以若1111...11110000...0000能被1999整除
则1111...1111必能被1999整除.

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10楼cks_gs cks_gs (忽悠悠一年又将过) 发表于 2009-4-28 08:56  只看此人
看了这种题，进华小五的考试0分也能理解
还是不要奥了，晕死.

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11楼ywdmhy ywdmhy (......) 发表于 2009-4-28 11:21  只看此人

回复 9#echooooo 的帖子

懂了，补充的很严密。谢谢！.

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