[数学] 二年级：连乘连除、三位数加减法

Alex 的问题
1、为什么可以这样连乘连除？
现有81颗糖，被平分成9盒，每盒又被分成3包，问每包几颗糖？
1包有3颗糖，每盒有3包，问9盒共有多少糖？

2、三位数加减法
原题：270 + 120 = ?
参考： 27 + 12 = 39
答案：270 + 120 = 390

扩展问题，为什么由等式：
27 + 12 = 39
可以推出：
270 + 120 = 390

Alex答曰：“因为在每个数字后面都只加了一个0，所以等式仍然成立。”
爸爸：“晕倒。”

交换律
我在1504#贴曾经谈到过张景中老师眼中的交换律，没想到这么快就用上了。不过张老师只讲了数学里边的交换律是不能乱用了，否则就要闹出袜子穿到鞋上的笑话了。可是，何时能用交换律？何时又不能用的呢？张老师没讲，我想，这就是爸爸同学和儿子同学需要研究的问题了。
Alex的作业里边有这样的一道题被小老师（作业太多，老师不得已只好叫数学课代表或者小组长来批改作业了）打了叉叉：
4x2x3
=4x6
=24
我猜想，小老师是认真比较了标准答案才慎重的打了一个叉叉的，因为目前二年级对连乘的要求是按顺序求解。小老师虽然发现了结果是对的，一度打了勾勾，但是根据课程的要求，认为过程不对。
Alex问过我以后，我建议 Alex 加上红批：“改错了，真讨厌啊！”
但是，作为一个小二同学的笨爸爸，还是要跟儿子搞搞清楚，为什么 4x2x3 可以使用交换律呢？是某某数学家告诉我们的吗？是我们试算以后发现碰巧结果一致吗？这又回到了数学的起点，"数学是从哪里来的？"
如果我们仅仅从抽象的算式 4x2x3 出发，是找不到答案的，真正的答案还要从生活中去吸取，换句话说，咱们要给这个算式编一个故事，使这些数字具有具体的意义，如此方可证明这个交换律是原来如此，而并非因为是某位老师、某位数学名家之言，我们才姑且信之。
假设我们有4盒云片糕，每盒里边有2包，每包里边有3块云片糕，请问共有多少块云片糕？
显然，我们至少有2种算法：
先计算4盒里边共有多少包，即4x2，再计算(4x2)包里边有多少块，即(4x2)x3，如此算法就是二年级教课书的标准算法。
不过与教课书思想一致，我们还可以有另一种算法：
先计算1盒（即2包）里边有多少块，即2x3，在计算4盒里边共有多少块，显然，4盒共有4个(2x3)，即4x(2x3)。

到此，我们已经证明了，(4x2)x3 = 4x(2x3)。如果我们费力一点，依次从每一个盒子里边各拿出一包放在一堆，就可以得到2堆云片糕，也就证明了：
(4x2)x3 = 4x(2x3) = 2x(4x3)

Alex 说到：“我们只是变换了数糕点的顺序而已嘛，变换了同一堆糕点排列方式而已，原来这就是交换律啊。”

二位数加法过渡到三位数加法
为什么教科书上可以从：
27 + 12 = 39
推导出
270 + 120 = 390？

Alex 的理解是如果加法中的每一个数字都在后面加上一个0，算式依然成立。当然，这种理解我们不能说是错的。不过，数学之根本不在于我们如何去书写公式（虽然书写也很重要），但是数学中似乎没有这样用书写来证明的算式。

假如我们不用阿拉伯数字，这样一道算式会变成：
二十七 加 十二 = 三十九
那我们还能根据上述的规则证明：
三百七十 加 一百二十 = 三百九十

假如我们用英文，又如何呢？
twenty seven plus twelve equal to thirty nine
three hundred seventy plus one hundred equal to three hundred ninety

由此可见，Alex 用书写方式来研究或者纪录数学问题，实在是误入歧途了。

Alex辩解到：“我只不过是把这种现象作为加法的一条规则而已。”
父：“这当然可以作为一条规则，那么我们从规则的角度去研究吧？减法怎么样？”
Alex：“减法是可以的。”
父：“乘法呢？”
Alex：“哦，乘法不一样了，要多加0。”
父：“除法呢？”
Alex：“那再加一条规则吧，要减少0了？”
父：“除法可不是减少0那么简单哦，以后你会学到， 200 除以 500 等于 0.4。你看，这零还可能出现在前面呢！”
Alex：“那数学不是就太复杂了吗。多个0就有这么多规则？”
父：“数学当然不是这样，这本是一个简单的问题，你把它弄复杂了而已。把你的教科书拿来我看看，我想看看书上是怎么说的？”
Alex：“好。”

具象到抽象
根据教科书的说法，要从：
27 + 12 = 39
推导出
270 + 120 = 390
其实并不难，教科书的法宝还是老套路，把抽象的问题具象化，咱们可不要看到“老套路”就不屑一顾哦，这是学习数学的正路子。

假设我们把：
27 + 12 = 39
看成以厘米为单位计算2根小棒的长度之和，那么换一个单位--毫米，是不是就能很容易地证明：
270mm + 120mm = 27cm + 12 cm = 39cm = 390mm
也就是说，我们在计算以下算式时：
270 + 120
把他们看成是27个“十”加上12个“十”而已，即使是我这个笨爸爸也能立刻回答：“结果是39个‘十’，也就是390。”

闭上眼睛不会做错，睁开眼睛写错了的题
16 x 8
= 10 x 6 + 6 x 8
= 60 + 48
= 108
这是 Alex 作业上做的一道题。

父：“你闭上眼睛，我给你出一道题。”
Alex：“好了。”
父：“16个8分拆计算结果？”
Alex：“16个8等于10个8加上6个8。”
父：“对，请检查你的作业。”
Alex：“哇，这我怎么写错了？”
父：“是啊，这是个问题。”

这其实跟前面几个问题一样，对数学的研究不应只停留在形式上，而是知其然，知其所以然。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-9 11:22 编辑 ].

具象到抽象
根据教科书的说法，要从：
27 + 12 = 39
推导出
270 + 120 = 390
其实并不难，教科书的法宝还是老套路，把抽象的问题具象化，咱们可不要看到“老套路”就不屑一顾哦，这是学习数学的正路子。
这种解法我是第一次从女儿作业中看到，没弄懂为什么要这样教？

[ 本帖最后由 小龙人妈妈 于 2009-3-9 10:19 编辑 ].

我记不清是谁说的，也记不清在哪里看到的这一段话：“小数的研究到最后都是对整数的研究，而对整数的研究到最后都是对0、1、2、、、10这11个数的研究。”
也就是说，将来无论我们研究的整数有多大，小数有多小，我们都可以通过对0、1、2、、、10的研究扩展出去。

如果要用数学的方法由
27 + 12 = 39
推导出
270 + 120 = 390

个人估计是很抽象的，似乎跟陈景润他们研究的哥德巴赫猜想有一拼了。作为小二咱们显然不能停止在这里，否则就无法往下学习了。这时我们已经很为难了，既不能机械地让学生们记住这个命题，又不能用某种权威（BBMM或者老师）来教训学生，老师似乎也被逼入绝境了，这数学还让人活不？

不过，教科书的方法给我们指出了一条明路，那就是把数学的基础问题跟我们的生活体验，跟具体的物联系在一起，用我们的体验来总结、归纳、印证这些基本的命题，使我们能从生活中学习数学。

以上是我个人对教科书的理解，请各位BBMM斟酌使用。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-9 10:42 编辑 ].

一道简单的加法搞得这么复杂。.