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[求助] 小五班的一道数学题,求解

1楼家长不易 家长不易 (茶@生活) 发表于 2009-1-13 15:28  只看此人

小五班的一道数学题,求解

题目是这样的:甲班和乙班同时从学校出发步行去公园,甲步行的速度是4千米/小时,乙步行的速度是3千米/小时,学校有辆汽车,它的速度是48千米/小时,这辆车恰好能坐一个班的学生,为使两班学生在最短时间内到达,那么甲班学生与乙班学生的步行距离之比是多少?

我不会,求教了!谢谢!.

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2楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-13 16:31  只看此人
题目是这样的:甲班和乙班同时从学校出发步行去公园,甲步行的速度是4千米/小时,乙步行的速度是3千米/小时,学校有辆汽车,它的速度是48千米/小时,这辆车恰好能坐一个班的学生,为使两班学生在最短时间内到达,那么甲班学生与乙班学生的步行距离之比是多少?

不妨先送甲，再送乙

汽车送完甲返回接乙，
在汽车与乙刚接触时，
汽车跑的总路程是乙走的路程的48/3=16倍
或者说如果汽车返回学校，汽车跑的总路程将是1+16=17倍乙走的路程
所以汽车送完甲时跑的路程是乙走的路程的17/2=8.5倍

同样考虑先送乙，再送甲
汽车送完乙时跑的路程是甲走的路程的(1+48/4)/2=6.5倍

值得注意的是上述2种送法实际上互为逆向
由于学校与公园的距离是固定的，
所以存在等式
6.5倍甲走的路程+乙走的路程=8.5倍乙走的路程+甲走的路程
得甲走的路程：乙走的路程=7.5：5.5=15：11.

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3楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-13 16:46  只看此人
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4楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-13 16:59  只看此人
最好再说明一下，要做到“最短时间内到达”，甲、乙班应同时到达。对吧？.

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5楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-13 17:06  只看此人
引用:
原帖由 greenjyz 于 2009-1-13 16:59 发表
最好再说明一下，要做到“最短时间内到达”，甲、乙班应同时到达。对吧？
嗯
这个是必须要证明的
不过不太容易说清楚
要不请greenjyz策划下？.

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6楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-13 17:24  只看此人

回复 5#Gemini 的帖子

哇！皮球又踢回给偶了。。。不过想了一下，还是没想出好的“证明”方法。是不是在五年级的程度上只能把它当成“不证自明”的了？.

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7楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-13 17:47  只看此人
引用:
原帖由 greenjyz 于 2009-1-13 17:24 发表
哇！皮球又踢回给偶了。。。不过想了一下，还是没想出好的“证明”方法。是不是在五年级的程度上只能把它当成“不证自明”的了？
嘿嘿
所以题目还是改为“为使两班学生在最短时间内同时到达”为宜。.

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8楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-13 18:28  只看此人

回复 7#Gemini 的帖子

好主意！这样就滴水不漏了！.

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9楼家长不易 家长不易 (茶@生活) 发表于 2009-1-13 18:50  只看此人
谢谢LS两位.昨家里想半天,就是想不出.
但是,上面说"
或者说如果汽车返回学校，汽车跑的总路程将是1+16=17倍乙走的路程
所以汽车送完甲时跑的路程是乙走的路程的17/2=8.5倍  "
为什么汽车的总路程是1＋16=17倍乙走的路程?这个,有点弄不懂,还烦请热心的给解释一下



[ 本帖最后由 家长不易 于 2009-1-13 20:59 编辑 ].

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10楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-13 21:47  只看此人

回复 9#家长不易 的帖子

汽车送完甲返回接乙，汽车与乙接触
此时乙走了附图中蓝色线段
汽车跑了附图中第一、二行的红色线段
由于所用的时间一样
所以路程比等于速度比
即第一、二行的红色线段与蓝色线段的长度比值是48：3=16：1
把第一、二行的红色线段化为蓝色线段相当于16段蓝色线段
汽车送完甲时跑的路程，即第一行的红色线段为（1+16）/2=8.5段蓝色线段.

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11楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-13 22:10  只看此人

回复 4#greenjyz 的帖子

还应该说明一下为什么甲乙各坐一次车的安排可以实现甲乙同时到达。
进一步还需要说明为什么这种安排下可以实现甲乙最短时间内同时到达，或者证明甲乙不仅坐一次车的其他安排能实现的甲乙同时到达的最短所需时间和此种安排下的最短时间相等并且其他的最短时间安排下甲乙步行距离的比值也不变。.

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12楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-14 02:06  只看此人

回复 5#Gemini 的帖子

抛砖引玉，我想了一下，不知道这样是否能说清楚。

我们需要构造一个每一步都是最优的坐车策略来实现甲乙到终点的所需时间最短。并且我们将得出在最优策略下，甲乙必然是同时到终点。我们将发现，这种策略和学校公园之间的距离无关，而且这种最优策略可以生成很多等价的最优策略。所谓等价即指各策略下甲乙到终点时移动的距离除以所需时间即甲乙综合速度是一个定值。

第一步：甲乙同时从起点出发（即甲乙处于同一位置），此时的最佳策略是让甲或乙坐车，让另一方步行。不妨先让甲坐车，回头我们将证明在这一步我们让谁坐车都可以构造等价的最优策略。

第二步：车将甲在某一地点放下，此时的最佳策略是让车返回去接乙，甲继续步行。回头我们将证明在乙赶上甲之前甲不能到达终点，否则将不是最优策略。

第三步：车和乙相遇后，乙坐车去追赶甲。

第四步：如果乙赶上甲时（即甲乙又处于同一位置）尚未到终点的，则回到第一步，继续循环。

接下来，我们证明最优策略下，甲乙必须同时到终点。

1   如果将第一步到第四步反复循环多次，必然有最后一次甲乙同处一个位置后，在甲乙到终点之前他们不再相遇。（因为，起点到终点的距离可以分成任意段，但其中总有最后一段。）

2  我们如果观察最后一次甲乙同处一个位置一直到他们到终点，则发现这是和原问题性质上类似的一个问题。只不过在这个问题中，我们已经根据第一步至第三步得到一个甲乙各坐一次车的最优策略（当然我们还不知道在什么地方把先坐车的那个放下来）。现在我们来解决这个问题，证明在这个问题里最优策略是甲乙同时到终点。

3  考虑在第三步的过程中，甲先到终点，乙之后到。注意在我们在之前的讨论中，甲乙是可以互换的，所以我们不妨再一次在第一步中让甲先上车。那么在相应的第三步中如果乙先到终点则甲乙必然在终点前相遇，和2中我们考察的问题的条件不符。

4  考虑甲到终点S后如果不停下来继续步行，直到乙坐车追上甲（甲乙相遇在S’），则乙必然比原来到终点要多花一点时间t才能追上甲。在这段多花的时间里乙的移动速度是车速（V车）。乙和甲相遇时，他们都比原来的终点又多移动了V车×t的距离。

5  如果我们把甲乙共同通过某段距离除以他们全部通过所需的时间定义为甲乙的综合速度的话，在原终点S到甲乙相遇点S‘这段距离中甲乙的综合速度等于车速V车。

6  而终点S之前的距离中，由于甲乙不可能同时坐车移动，且V车>V甲和V乙，所以之前距离所对应的甲乙综合速度必然小于V车。

7  设原终点之前的距离为S，甲乙到原终点需要的时间为T，4中甲乙多移动的距离为s，所花的时间为t。则S/T<s/t ，可得（S+s）/（T+t）。即如果把（S+s）处设为新的终点，则甲乙的综合速度要优于原终点时的综合速度。所谓综合速度更优即意味着甲乙通过同样距离的时间越短，也就是说这个策略更优。

8，7中证明了甲乙同时到比甲先到更优。而由于之前的讨论，乙不可能比甲先到，所以，甲乙同时到时是最优的策略。其实，如果乙又超过了甲的话，只要把以上所有的证明中甲换成乙，乙换成甲就可以证明同样的结论了。

接下来，我们证明第一步中谁先坐车无关最优策略。

1  其实之前已经反复提到了，以上证明中甲乙是对称的，可以互换。

2  同时甲乙必须同时到终点的结论也说明，整个移动的过程也是可逆的，即可以把录像带回放，一样是可行的最优策略。而在回放中，原来的追赶方就会成为被追赶方，原来的先坐车的就会变成后坐车的，并且同一个内容的录像带正放所需的时间和倒放所需的时间是一样的，即正放策略和倒放策略是等价的。这一点下面还会计算验证。

接下来，我们证明我们的这个最优策略的实现形式可以有很多种，并且每一种都是等价的。

1  我们可以这样来叙述我们得到的最优策略：开始时，让甲或乙任何一方上车，另一方步行，在保证第四步甲乙相遇时未到终点的前提下，任意次地进行第一步至第三步的循环，最后一次循环中我们让甲乙同时到达终点。

2  根据Gemini的计算，我们可以发现，给定甲乙和车三者的速度，以及一段距离（我们只需要考虑最后一次循环开始时甲乙离终点的距离）
，则此次循环中先上车的那方下车的地点是唯一确定的。并且无论甲先上车还是乙先上车，到终点所需的时间相同。

3  我们可以计算出，最后一个循环中甲乙的综合速度是一个定值，它仅取决于甲，乙和车三者的速度，和距离无关（可以作为习题）。

4 我们注意到最后一个循环之前的所有循环本质上都是甲乙从一个共同位置出发各坐一次车（经历第一步到第四步）最后又相遇的过程，所以之前的每个循环甲乙的综合速度和最后的一个循环的综合速度相同。当然，甲和乙的步行距离之比也是相同的。这点可以看Gimini的计算。

5  既然之前每个循环的综合速度都和最后一个循环相同，那么无论总共包括多少个循环，在时间最短方面都是最优的。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-1-14 02:14 编辑 ].

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13楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-14 08:28  只看此人

一个较简单的说明

时间最短问题等价于甲乙从起点出发到达某一地点（包括共同到达或先后到达）这段距离中综合速度最大。

观察3楼的图，发现从起点到车返回接到最初步行的那一方的位置（a点）的这段距离中，甲乙的综合速度为走路的那方的步行速度。
又发现，从a点到甲乙再次相遇（b点）的这段距离中，甲乙的综合速度为车速，根据题设，可知这是甲乙所能达到的最高综合速度。
过了b点后，甲乙的综合速度又下降为步行一方的速度。
由于甲乙同时从起点出发，所以针对从起点算起的距离，到b点时综合速度达到最大，之后则暂时下降。

对从起点到b点的这段距离的综合速度进行计算可以发现，不依赖于起点到b点的距离，并且甲先坐车和乙先坐车的结果一样。最后，b点可以看作一个新的起点，不断循环直到某个b点等于最初设定的终点。.

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14楼家长不易 家长不易 (茶@生活) 发表于 2009-1-14 12:02  只看此人
待我仔细研究研究。唉，真后悔当学生的时候没学好数学。.

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15楼玉慧她爸 玉慧她爸 (......) 发表于 2009-1-14 13:12  只看此人
看了上面的解法，我深受启发，不过昨天看见这个题目这个解法之前，我是用方程解的：
前提是甲乙班同时到达速度最快
设甲走的距离a,乙走的距离b,全部路程为c
车子先送乙到某个地方，回来接走出一点的甲
这样甲的时间是a/4+(c-a)/48
乙的时间是(c-b)/48+b/3
两者是相等的，方程中c正好可以减掉，得a/b=15/11.

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16楼玉慧她爸 玉慧她爸 (......) 发表于 2009-1-14 13:14  只看此人
说句老实话，这个题目化了我前后几个小时（分段想的）。在考试中让小孩做这种题目难度也太大了，除非是事先做过。.

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17楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-14 14:16  只看此人
题目可以再难一点 :
甲班和乙班同时从学校出发步行去公园,甲步行的速度是4千米/小时,乙步行的速度是3千米/小时,学校有辆汽车,这辆车恰好能坐一个班的学生，它的速度是空载48千米/小时,满载36千米/小时,为使两班学生在最短时间内同时到达,那么甲班学生与乙班学生的步行距离之比是多少?.

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18楼家长不易 家长不易 (茶@生活) 发表于 2009-1-14 15:00  只看此人
玉惠她爸列的式子看起来易理解也方便.

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19楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-14 17:47  只看此人

回复 11#jyuntoku 的帖子

"还应该说明一下为什么甲乙各坐一次车的安排可以实现甲乙同时到达。"
这个容易一些，简单计算可证明如果甲或乙不坐车的话，总时间比甲、乙各坐一次车的时间长；

“进一步还需要说明为什么这种安排下可以实现甲乙最短时间内同时到达，或者证明甲乙不仅坐一次车的其他安排能实现的甲乙同时到达的最短所需时间和此种安排下的最短时间相等并且其他的最短时间安排下甲乙步行距离的比值也不变。”
这个才是头疼的。。。。.

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20楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-14 17:49  只看此人

回复 12#jyuntoku 的帖子

这个太厉害了!.

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21楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-14 17:52  只看此人

回复 15#玉慧她爸 的帖子

此题用方程解确实是更简洁，但不知小五班的同学是否已学到方程了？.

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22楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-14 18:17  只看此人

回复 20#greenjyz 的帖子

谢谢您的鼓励。半夜里享受了一把做数学的快感。
题目中最好给出“同时”作为前提条件，否则很多真的有思想的小孩会做不出来，这样做题比不做题还坏了。
不过我建议老师在让学生以“同时到达”为前提条件解完题后，能顺便说一句，这个条件是不需要的，然后就放手让孩子自己去想（无论想不想得出），长期效果看会更好。.

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23楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-14 18:46  只看此人

回复 17#Gemini 的帖子

你这不是有意为难人家玉慧他爸吗？.

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24楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-14 18:57  只看此人

回复 22#jyuntoku 的帖子

哈哈！想必您的愉悦是无以言表的！

完全同意！对有潜力、思想的孩子，确实不能局限在现有的题设里，放开思维才能进一步拓展、拓深对未知问题的探索，引出对数学学习的浓厚兴趣。这才是数学探究的境界。.

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25楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-14 18:58  只看此人

回复 23#jyuntoku 的帖子

哈哈！迪格人不厚道！要打PP！.

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26楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-14 19:40  只看此人

各位爸爸妈妈告诉你们一个好消息！

最短时间的情况下必然甲乙同时到达这个条件不必做前提条件也可以让小五班学生做了！

考虑到无论哪种坐车策略，整个过程都是可逆的（关键就在这里），所以每种策略对应一种逆策略（即录像带回放）。而一个策略和他的逆策略花的时间是一样的。所以如果一种坐车策略是花时间最少的，它的逆策略也花时间最少。

在逆策略中起点变终点，终点变起点。然而无论如何甲乙出发时一定是一个走路一个坐车最优的。

所以最优策略必然是甲乙同时到达，否则这个逆策略中甲乙一方已经出发但另一方还呆在原地不动！

我相信以上的说明是完全可以让五年级孩子弄明白的。.

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27楼misszhang misszhang (......) 发表于 2009-1-14 19:59  只看此人
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28楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-14 20:02  只看此人
引用:
原帖由 jyuntoku 于 2009-1-14 18:46 发表
你这不是有意为难人家玉慧他爸吗？
嘿嘿
玉慧他爸是肯定不会这样想的
对不？

探究性学习嘛
是猫老师一贯提倡的.

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29楼罗小星 罗小星 可能存在争议 发表于 2009-1-14 21:18  只看此人
这个题目没有把老猫老师给招来，呵呵。.

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30楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-14 21:37  只看此人
引用:
原帖由 罗小星 于 2009-1-14 21:18 发表
这个题目没有把老猫老师给招来，呵呵。
猫老师说：
这个题目
一个方程
搞掂！.

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31楼城市的风
每周一星 
城市的风 (健康快乐最重要) 发表于 2009-1-15 09:39  只看此人

回复 15#玉慧她爸 的帖子

好办法！容易理解！.

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32楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2009-1-15 10:15  只看此人
引用:
原帖由 罗小星 于 2009-1-14 21:18 发表
这个题目没有把老猫老师给招来，呵呵。
俺一直看着。讨论的时候不要有结论比较好，讨论完了也不要有结论比较好。.

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33楼罗小星 罗小星 可能存在争议 发表于 2009-1-15 10:27  只看此人

回复 32#老猫 的帖子

都是禅机，.

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34楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-15 11:19  只看此人

回复 33#罗小星 的帖子

也是玄机，高深莫测啊。。。。.

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35楼家长不易 家长不易 (茶@生活) 发表于 2009-1-15 22:21  只看此人
雅啦索~~~~~嗨 巴扎嗨!.

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36楼active69 active69 (......) 发表于 2009-1-21 13:56  只看此人
44比45,好象没那么复杂,我搞错了?.

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37楼active69 active69 (......) 发表于 2009-1-21 14:12  只看此人
引用:
原帖由 玉慧她爸 于 2009-1-14 13:12 发表
看了上面的解法，我深受启发，不过昨天看见这个题目这个解法之前，我是用方程解的：
前提是甲乙班同时到达速度最快
设甲走的距离a,乙走的距离b,全部路程为c
车子先送乙到某个地方，回来接走出一点的甲
这样甲的时 ...
哦,对.

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38楼active69 active69 (......) 发表于 2009-1-21 14:17  只看此人
引用:
原帖由 active69 于 2009-1-21 13:56 发表
44比45,好象没那么复杂,我搞错了?
想着列时间相等,做时却列了个距离相等.

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39楼active69 active69 (......) 发表于 2009-1-21 20:41  只看此人
48x  +4y=3x+48y算出的是时间比  乘上速度就是距离比.

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