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把握学科本质与研究学生：数学教育永恒的课题
——评华应龙《圆的认识》一课
●北京 刘加霞
普普通通的“圆”引出的是不普通的话题。
听过华应龙老师执教的《圆的认识》的老师，大都为其“大气”的教学设计以及实施所折服，认为：新颖，精炼，有品位，智慧，自然，活跃，从容，幽默；教者潇洒自如，上课得心应手，学生学得轻松，知识掌握牢固……
但也有这样的评价：有创意，但有争议；轻松、智慧、大气但有疑惑；满怀希望——比较失望；作秀——无意义……
有争议有质疑正是社会进步的表现，正是课程改革能够深化的动力。
质疑与争议的焦点在哪里呢？我们以“事实与证据”说话——课后即对部分听课教师（60人，其中江苏、北京各30人）做了问卷调查，调查结果如下表。
总之，听课者担心基本知识和基本技能没有落实到位，不“扎实”。现在我们就来讨论其中的一些话题。
一、是教“定义”还是让学生经历“定义化”？
有的教师认为，华老师的课中，关于圆的半径、直径的定义及其它们之间的关系是一笔带过的，学生尤其是后进生能掌握圆的这些基本知识吗？
这位教师的评价非常中肯，本课确实淡化了这些概念的“定义”，相反却非常重视对这些概念本质的理解：
是什么（小明“寻宝”）：在思考与尝试中初步感知“圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹”，初步感知确定“圆”的两个核心要素：圆心、半径。
为什么是圆：通过与正多边形的对比研究，再一次感悟到“圆”之所以为“圆”的关键是所有半径都相等。
怎么画圆：通过对学生“非圆”作品以及如何在篮球场上画一个大大的“圆”的分析，再一次强化“圆”之所以为“圆”的核心：到定点的距离都相等。
所以说，整堂课对“圆”本质的教学可谓“浓墨重彩”，让学生真正理解“圆为什么是圆”这一个看似不是“问题”的重要“问题”。
我想教师的这种担心不无道理，因为在华老师的课上没有明确写出“圆心”、“半径”、“直径”的定义，也没有再进一步让学生练习这样的题目：给出半径的数据求直径或者给出直径的数据求半径；画出一个“圆”并标出一些非直径或者非半径的“线段”让学生来判断；也没有出几个像“从圆心到圆上任意一点的距离都相等”之类的判断题，因而听课教师认为练习不够，不能很好地强化学生的理解，“后进生”怎么办？一句话，听课教师的心里不“踏实”。
但学生的后测结果表明，由于学生充分地经历了“圆”的形成过程，由于教师处处以圆的两个核心要素为重点来展开教学，因此，即使课堂上不练习这样的“问题”学生仍然没有“问题”。
听课教师这种担心的背后实际上折射出教师的一种教学价值判断：我讲过的、练习过的“题目”就应该会解决，没有练过的就可能不会（甚至不会也是应该的）。教师的要求太低了，学习难道就是解决曾经解决过的问题？忘记了把握概念的本质并掌握解决问题的方法才是解决一切“问题”的法宝。
这种担心的背后更折射出教师的几何教学观：我们是教“定义”还是让学生经历“定义化”的过程？
对此，荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔早就有过精辟的论述①：
儿童用逻辑方法组织活动的能力有着一个持续但并不连续的发展过程。在最初阶段，他们通过手、眼以及各种感觉器官进行思维，经过一段时间的亲身体验，通过主动的反思（笔者注：核心是追问“为什么”），就会客观地描述这些低层次的活动，从而进入一个较高的层次。必须注意，这个高层次的达到，绝不能借助算法或形式的灌输来强加给他们。
我们实际的教学是否有很多是“借助算法或形式的灌输来强加给他们”的？展示几幅关于“圆”的美丽图片，再问问“这些都是什么形状”，抽象出“圆形”，紧接着就给出“圆心”、“直径”、“半径”的定义，并做练习巩固强化。这是小学的几何教学吗？靠这样的“形式化”的“强化”学生就理解了？学生就掌握了？学生对“几何”以及几何学习会有什么印象？
他还接着说：
演绎必须始于定义，它是演绎推理链中的重要一环。但苏格拉底的教学理论（笔者注：实际上就是弗赖登塔尔的主张）不主张用定义来引入几何对象……它（定义）不是强加的，而是由直观萌芽逐步发展的，因而就学会了演绎地组织一个对象性质的方法。
在实际的科学研究工作中，多数定义不是事先想好的，而是组织、推理的结果。学生应该有权自己来发现，这样既直观、自然，又有相对性，可以充分体会定义的必要和作用，并且掌握等价的定义。
对此，我们以一个案例来说明。为了了解学生对于“圆”的已有认识和经验到底有哪些，我们选择不同年级的学生做了前测，我以我女儿（小学三年级学生）作为观察对象之一，下面是其中的一段对话过程：
笔者：下面这幅图中哪条线段是直径？（略）
女儿：妈妈，什么叫“直径”啊？
笔者：你自己看，自己决定吧。
女儿：3号是直径。
笔者：为什么啊？
女儿：因为它是“直直”的，“直径”、“直径”嘛！
笔者：其他的线段就不是“直直”的？
女儿：是斜的，哦，也是“直直”的，因为3号最长。
到底什么是“直径”？女儿创造的“定义”——圆上最长的线段——是否可以作为直径的等价定义？学生对于几何图形是否都有“直觉”？什么最容易被学生“直觉（知觉）”到？显然是“长度”，因此“距离”是学生学习、研究几何图形时最容易感知与理解的一个概念。
让学生在动手、动脑的操作中经历“圆”的形成过程，并追问“圆为什么是圆”的理性推理过程，使得“直径”、“半径”、“圆心”的定义呼之欲出，因此，完全可以让学生自己来“创造”定义进而理解定义。在华老师的课上，就是通过如何“标出”直径、半径来强调这一点的：
师：对，圆规两脚的距离就是半径。那现在我也来画一个圆！
……
生（几乎是喊着）：2倍关系！一半！（教师板书：d=2r。）
（该片段详见前文课堂实录，编者注）
二、对于“圆”，学生已有哪些认识？
听完华老师的课，有很多教师担心思维慢的学生，尤其是后进生真正掌握“圆”了吗？其顾虑仍然是前面所说的没有强化定义，没有做相应的练习（后测结果表明，教师多虑了）。即使是后进生，对前面所说的练习有困难吗？学生对“圆”到底有哪些认识？
对此，我们选择了北京市一所城区小学的六年级学生、北京市某郊区一所农村小学的五、六年级学生以问卷的形式进行调研，对我女儿以观察、访谈的形式进行了解，结果如下：
1． 总体看，城区小学学生的得分远远高于农村学生的得分。
2． 100%的学生能够正确地辨认出“圆形”，能够正确地标出哪条线段是直径。
3． 填下面表格时，学生的差距比较大，但其原因不在于学生不理解直径与半径的关系，而在于教师的引导：当学生追问“什么是直径”、“什么是半径”时，如果教师鼓励学生按照自己的理解来判断，学生解决表格中的问题，几乎都没有问题（除个别学生计算上的失误以及做某个填空时误以为第一行给出的是直径，第二行给出的是半径）。而在做农村六年级学生的测试时，教师没有鼓励学生按照自己的理解来解，而是说“如果会就做，如果不知道就空着，不用填”，大约70%的学生没有做这个填空题。因此，从得分来看，五年级学生远远好于六年级学生。
4． 当要求学生画一个半径为3厘米的圆并标出一条半径、直径及圆心时，城市小学的学生几乎百分之百能够解答（除个别学生“徒手”画圆）。农村学生约50%是“徒手”画圆（几乎都像“圆”，学生在力图保证到“定点”的距离相等），约50%没有留下任何“痕迹”，卷面是空白的。
三年级学生解决这个问题的过程如下：
先是“徒手”画圆，感觉“不圆”，自己的归因是“不认真”，然后又“认真”地“徒手”画了一个“圆”，仍然有的地方“瘪进去”了，最后自己终于发现“要用圆规画圆”，找到圆规后就能正确地解决这个问题。
5． 小明说：“圆没有棱角，是圆圆的。”他说得对吗？请把你的理由写下来。几乎100%的学生认为他说的正确，但不能清晰地写出理由。个别学生认为他说得不对，例如，有学生说“圆不是没有棱角，而是有无数个棱角”，有的画出了圆的“圆心角”、“圆周角”，所以他认为“圆也有角”。
通过前测调研，我们认为学生对于圆的认识没有本质上的区别，对“圆”都有一种“直觉”，差距在于是否听说过“直径”、“半径”、“圆心”等名词术语，更大的差距在于学生是否敢于挑战自己：
学习敢于从自己“朴素”的理解开始吗？敢于自己给某个概念下“定义”吗？是否有尝试“错误”的愿望与勇气？是否有“教师没有讲，我也能会”的自信心？
一句话，学生的差异不在于知识储备的多少，而在于是否有一定的学习方法与学生的数学学习观是什么。
三、数学文化该如何渗透？
有教师认为：本课过分注重数学知识的人文背景，向学生充分展示了圆的文化内涵……但在基本的数学知识与数学能力方面，学生并未上升到数学的理性与概括阶段。
真是这样吗？关于圆，“上升到数学的理性与概括阶段”是什么样子？数学文化的价值是什么？
在当前的小学数学课堂教学中，教师们开始尝试数学文化的渗透，但现在也出现了偏颇：课堂上出现“古人说”、引用数学历史上的史料就算是渗透数学文化吗？对此，我们缺少对“什么是数学文化”以及如何发挥数学文化的教育价值的追问，“数学文化”因而很容易成为课堂教学的点缀与装饰品。
对于什么是“文化”，我不敢谈论，但文化应包括三个层面的内涵：器物、制度、精神。数学文化也是这样，课堂教学中数学文化绝不能仅仅是“器物”的呈现，更重要的是制度（原理、方法等）、精神与信念的渗透，是用来帮助揭示教学内容的本质，要用得恰到好处。
在华老师的课上，当学生经过操作、追问等活动理解了“圆为什么是圆”后，引出《墨经》中的“圆，一中同长也”，学生感悟到的是：我们非常聪明、古人更聪明，那么早就能够抓住事物的本质，更能体验到中国语言文字是高度凝练与概括的，进而体验到民族自豪感。
当学生学会利用“对比”的研究方法，分析正多边形与圆的联系与区别后，并利用“课件”真正“看到”正N边形（当N越来越大）就是“圆”时，出示老子的经典概括“大方无隅”，学生的感悟又会是什么？除了前面所提之外，是否又从另一个角度高度概括了圆的本质？是否让学生初步感悟到了“量变导致质变”的哲学思想？是否让学生体验到了“无限”世界中的神奇与美妙？
当学生利用圆规画圆后，教师说出“没有规矩，不成方圆”，学生是否体验到了成语的内涵？是否体验到了语文与数学的密切关系？是否意识到要换个角度看待所要学习的各学科？
当学生不能用圆规画篮球场中的大圆，而是想尽一切“办法”画圆后，教师又谈到“没有规矩，不成方圆”，学生是否感悟到画圆不在于是否必须用“规”，而在于必须满足“到定点的距离等于定长”这一圆的本质特征？从而理解“规矩”并不是具体的“规”与“矩”，而是“道理”或者“原理”？再进而明白这也是做人和做研究的道理？
经历这样的教学过程，学生理解了“圆，一中同长也”、“大方无隅”、“没有规矩，不成方圆”这三句话，这不正是对圆的本质以及特征的高度概括吗？
课堂教学永远是“我的地盘我作主”。其前提是：把握学科本质+研究学生。
注释：
① 弗赖登塔尔：《作为教育任务的数学》，上海教育出版社（1995年），第284页。
（责任编辑 余慧娟）.
