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[数学] ZT:一道难倒网友的排列组合题

ZT:一道难倒网友的排列组合题

一道难倒网友的排列组合题  
三个大于0的整数之和为999,这样的组合有多少?.

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1+1+996;1+2+995;1+3+994……1+499+499共有499个;
2+2+995;2+3+994;2+4+993……2+498+499共有497个;
3+3+993;3+4+992;3+5+991……3+498+498共有496个;
4+4+991;4+5+990;4+6+989……4+497+498共有494个;
5+5+989;5+6+988;5+7+987……5+497+497共有493个;
……  ……  ……  ……  ……  ……  ……  ……  ……
332+332+335;332+333+334共有2个
333+333+333有1个
三个大于0的整数之和为999,这样的组合有499+497+496+494+493……+2+1=83167个.

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(一)2x+y=999的情况(x!=y)有998/2-1=498种
(二)3x=999的情况只有1种
(三)x+y+z=999其中x,y,z互不相等的个数为F(n)
C(999,2)=3!F(n)+3*498+1
(四)上式怎么得来的
如果x,y,z互不相等显然对应6组解
如果一对相等如(4,1,1)只对应(4,1,1),(1,4,1),(1,1,4)三组解
如果三数全相等(4,4,4)显然只对应一组解
(五)由(三)得F(n)=[C(998,2)-3*498-1]/3!=82668组
所以全部组合为82668+498+1=83167.

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此题相当于“有999个苹果,放到3个篮子里,每个篮子最少1个,问有多少种放法?”.

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回复 4#echooooo 的帖子

可以有更简单的解法吗?.

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貌似你们都上当了。
三个整数应该是有序的。也就是说1+2和2+1是不同的解。
于是不过是998*997/2而已。.

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