[数学] 求n的最小值，使得(n+1)(2n+1)/6为完全平方数

1楼冬瓜爸爸 冬瓜爸爸 (......) 发表于 2010-7-31 19:56 只看此人

求n的最小值，使得(n+1)(2n+1)/6为完全平方数

其中n>1

[ 本帖最后由冬瓜爸爸于 2010-7-31 19:58 编辑 ].

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2楼JamesHF

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3楼冬瓜爸爸 冬瓜爸爸 (......) 发表于 2010-7-31 21:55 只看此人

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n是正整数。n>1.
n=5时，（n+1)(2n+1)/6=11, 不是完全平方数。.

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4楼ITmeansit ITmeansit (......) 发表于 2010-8-1 13:42 只看此人

(n+1)(2n+1)/6，找不到n为整数，有一个47/2满足条件。是不是题目有误？
(n-1)(2n-1)/6倒是可以有的，n=25。.

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5楼冬瓜爸爸 冬瓜爸爸 (......) 发表于 2010-8-1 21:51 只看此人

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题目无误。
n=337就能让这个触气的式子成为完全平方数。.

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6楼冬瓜爸爸 冬瓜爸爸 (......) 发表于 2010-8-1 23:16 只看此人

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我起个头吧，比如n+1必为偶数，那n为奇数，设n=2k+1,得(k+1)(4k+3)/3为完全平方数。
要么k+1是3的倍数，要么4k+3是3的倍数即k是3的倍数。
这里得出n=6m±1 （m为正整数）
以下看看各位能否接龙下去，直到求出解来。.

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7楼hzw hzw (花红柳绿) 发表于 2010-8-1 23:45 只看此人

先说一种情况 n = 6m+1
则 s = (n+1)(2n+1)/6 = (3m+1)(4m+1)
因为(3m+1,4m+1)=1
所以 3m+1是完全平方数 , 4m+1是完全平方数
又：奇数的平方是8n+1型, 偶数的平方是8n或8n+4型
而4m+1是奇数，则 m 是偶数
从而 3m+1也是奇数，
又(3,8)=1，所以 m 是8的倍数。
依次验证m=1*8,2*8,3*8,4*8,5*8,6*8,7*8 得知 m最小是56，
所以n最小是56*6+1=337.

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8楼冬瓜爸爸 冬瓜爸爸 (......) 发表于 2010-8-2 11:10 只看此人

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o, yeah!

in the case of n=6m-1, it won't be more complicate than n=6m+1.
a hint: Using the characteristics of a perfect square number, you can find there is no solution for all n's in 6m-1 pattern. Who will explain why?

[ 本帖最后由冬瓜爸爸于 2010-8-2 12:33 编辑 ].

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9楼ITmeansit ITmeansit (......) 发表于 2010-8-2 13:08 只看此人

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我是以2n^2+3n-6m^2+1=0,按照二次方程来解，德尔塔必须是完全平方数。但337这个数字太大，在竞赛中大多数不会出这样的题目。我m值试到150（不必每个都试，尾数有规律）就没再试了。

如果改为减号，竞赛中还有可能出现。呵呵，最近忙新知杯的卷子了，小学的做法忘了，就采用初中的解法了。.

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