[求助] 二年级乘法概念题

楼上说的很对，所有的实际生活，及高年级的数学应用题都是按老方法在教，在学。同时，老的方法也是被实践证明是正确的，唯一的就是在二年级教乘法的意义时被改动了，从而造成整套小学数学教材无法自圆其说。.

　　嗯，我研究过。见http://ww123.net/baby/viewthread ... ;page=47#pid5459503

　　不不园的困惑，也是hxy007的困惑。007本来是没有这方面困惑的，可是自从小子学了乘除，老子的脑子开始充满浆糊。
　　当年的数学老师教007，“5个4”就是“4的5倍”，都要写成4×5.　总之，虽然它们都是因数，虽然4×5和5×4的纯数学意义和结果都是一样的，但是它们的实际意义不一样。两数相乘，前一个因数是每份数，后一个因数是份数或倍数。
　　等到007贩卖西瓜赚学费时，就更加能够理解老师的教导了。我的西瓜每斤4角钱，卖出5斤西瓜，收人家多少钱呢？007是这样列式计算和记帐的：4×5=20角=2元。前面写单价，后面写斤数，刷刷清！
　　老师的这种教导，也让007非常准确地理解了九九乘法口诀：每一组口诀，都是“份数不变、倍数（每份数）递增”的乘法口诀。

　　可是，我家儿子在现在的老师教导下，成了这样做题：如果你问“5个4是多少”，他就列成5×4；如果你问“4的5倍是多少”，人家便写成4×5.　问他每一组乘法口诀是什么意思，人家解释说：是“1~9相同倍数”的乘法口诀！（是我总结的，他说不到这么简明，但意思就是这样）
　　也许，现在的小学数学不想把事情弄复杂，不想把孩子的脑子弄乱掉。这个我能理解。然而，实践的结果是：孩子的脑子虽然一时似乎没有乱，但因为没有扎实的基础知识，没有形成对乘除的基本概念，越学到后面脑子就越乱（三年级开始就很明显了）。

　　下面是007在2007年12月18日（当时儿子是小二上学期，正在接受乘除启蒙）写给他数学老师的一封信，虽说是求教，实际也是在质疑现行小学数学中存在的这个大漏洞。信中所提的附件找不到了，否则，拿出来全面讨论一下，会很有意思的。


X老师：

　　您好！我们有些关于孩子数学辅导的问题想请教于您。
　　我们把孩子平时作业和测验中没有做对的题目集中在一块分析，发现他对乘法和除法的基本意义、概念的理解不清楚。把做错的题目打出来，让他重做，依然发生错误，而且出错率不低（见附件一、二、三）。
　　分析下来，我们觉得可能有两方面的原因：一方面，我家孩子在幼儿园阶段没有受过正式的数学启蒙教育，现在我们也没有让他上什么数学辅导班，而班上其他小朋友多数都有相当的基础，因此老师上课的进度比较快，我家孩子勉强跟上了进度，但没有消化，或者说学得不扎实；另一方面，在家里辅导孩子时，我们教的和老师教的不一样，导致了孩子思维上的混乱。因为我们在教时，孩子经常会争辩说老师不是这样说的。反思下来，后一方面可能是主要原因。因此，我们必须与老师保持一致，也就有两个方面的问题希望老师您能够给予指教。

　　（一）关于乘法作业的家庭辅导问题

　　第1题（见附件一），3个6的乘法算式怎么列？儿子列的算式是：3×6＝18
　　第16题（见附件三），他也以类似的思路列乘法算式，把“5个3”列为“5×3＝15”.
　　我们认为不对，两个因数的位置弄反了。跟他说：“3个6”就是“6的3倍”，因此乘法算式应该是6×3＝18。在乘法算式中，要把“每份数”放在前，“份数”放在后。
　　但是儿子坚持把“份数”放在前，“每份数”放在后。
　　我们试图用乘法口诀表，倒过来说服他。跟他请：

　　6的乘法口诀        我们的解释        　　　　　　　　　　　儿子的解释
　　6×1＝6          1个6，表示6的1倍        　　　　　　　　　　6个1，1的6倍
　　6×2＝12        2个6（即比前面多了1个6），表示6的2倍        6个2，2的6倍
　　6×3＝18        3个6（即比前面多了1个6），表示6的3倍        6个3，3的6倍
　　6×4＝24        4个6（即比前面多了1个6），表示6的4倍        6个4，4的6倍
　　6×5＝30        5个6（即比前面多了1个6），表示6的5倍        6个5，5的6倍
　　6×6＝36        6个6（即比前面多了1个6），表示6的6倍        6个6，6的6倍
　　6×7＝42        7个6（即比前面多了1个6），表示6的7倍        6个7，7的6倍
　　6×8＝48        8个6（即比前面多了1个6），表示6的8倍        6个8，8的6倍
　　6×9＝54        9个6（即比前面多了1个6），表示6的9倍        6个9，9的6倍

　　我们的解释可以合理地说明同一系列的乘法口诀中倍数的递增关系，儿子的解释不能说明这种关系。相反，在儿子的小脑袋里，6的乘法口诀中倍数（即份数）是不变的（都是6倍），有递增趋势的是每份数。我们觉得，这显然没有把握住乘法的数学精神。但又不能对他说得这么深。所以，无法说服他。他依然坚持自己的理解。
　　我们原先觉得照他那样理解也行。我们也试着按照他的理解，去辅导他的作业。可是，请您看一看他做的第○2题（附件一）、第○14题（附件三），就会发现他也没有始终如一地坚持一种理解。
　　在第2题中，对于“3的4倍”如何列式，儿子首先想到的是3×4＝12.
　　在第14题中，对于“9的6倍”如何列式，儿子的答案是9×6＝54.
　　也就是说，他在解这两道题时，把“每份数”放在前，“份数”放在后了。这与第1、16题的思路不一致。表面上看，无论题目是问“9的6倍”如何列式，还是问“6个9”如何列式，我家孩子都会把题目中最先出现的数字放在乘法算式中第一项：对于第一种问法，他会列成“9×6＝54”；对于第二种问法，他会列成“6×9＝54”。显然，“9的6倍”和“6个9”是同一个意思，他却列出了不一样的算式。这说明他的对于乘法概念和意义的理解是混乱的。他的这种混乱，跟我们没有与老师的指导保持一致有关。
　　现在，我们困惑的是：我们想法是不是正确的？抑或，我们的想法虽然正确，但乘法启蒙教学有特殊要求，不能一开始就使用这种思路？如果确实如此的话，可以从什么时候开始引导孩子使用更加合乎数学逻辑的思路？我们今后应该采取哪种思路指导孩子的乘法作业？

　　（二）关于除法作业的家庭辅导问题

　　我家孩子在做除法作业时也会出现类似的概念混乱。
　　在用文字表述或主要用文字表述的题目中，由于题意被明确限定，儿子通常能够正确列式和计算。例如：
　　第○4题（附件一）：16是4的几倍？儿子的解答是：16÷4＝4
　　第○15题（附件三）：18里有几个6？儿子的解答是：18÷6＝3
　　第○16题（附件三）：把15平均分成5份，每份是3。黄子凡据此列出算式：15÷5＝3
　　但是，儿子不能理解除数、商的概念在应用题中的实际意义。仍以上面三题为例。在第4、15题中，除数是“每份数”，商是“份数”或“倍数”；在第16题中，情况恰好相反，除数是“份数”或“倍数”，商是“每份数”。换句话说，除数到底是代表“每份数”，还是代表“份数”（或“倍数”），要根据题意，看具体情况。我家孩子却坚持认为除数永远代表“每份数”，凡是“每份数”都要放在除数的位置。
　　这种机械的思维，导致儿子在做用图画示意的除法作业题时经常出现差错，或者出现思维混乱。例如：
　　第○6题（附件二），他把“15里有5个3”列式为“15÷3＝5”
　　第○7题（附件二），他把“14里有7个2”列式为“14÷2＝7”
　　这两题的解答，与他坚持“除数永远代表每份数，凡是每份数都要放在除数的位置”的思路，是一致的。可是在第○5题中，他又没有始终一贯地坚持这种思路。
　　第一步，他把图片的内容理解为“10个红心平均分，每份2个，一共5份”，减法算式是“10－2－2－2－2－2＝0”；
　　第二步，他把除法算式列为“10÷5＝2”，其意思是说“把10分成5份，求得的商是每份数”，这跟第6、7题的想法（即“每份数放在除数的位置”）不一样了；
　　第三步，他根据自己对除法的理解（即“除数代表每份数，商代表份数”），解释第二步得出的除法算式：“10里面有2个5”。
　　我们跟他指出：你第三步这样写，就表示2是份数，5是每份数；可是，你在第一步不是认为2才是每份数吗？
　　儿子立即意识到了自己的前后矛盾，把第三步的解释改为“10里面有5个2”，进而把第二步的算式改为“10÷2＝5”。这样，他做是做对了。可是，他并没有因此而灵活、全面地理解除法算式中除数和商的概念。下面的表现可以说明这一点。
　　我们跟他讲：这个题目你不一定要改第二、三步的答案，你可以只改第一步的答案。就是说，如果你不从列上看每份数，而是从行上看每份数，那么这个题目中每份数是5，份数是2。因此，第一步的答案可以改为“10－5－5＝0”。这样，你就不用改第二、三步的答案了。儿子对此感到费解，不能接受这种想法。他大概已经习惯了从列上看每份数，不愿意接受“也可以从行上看每份数”的建议。这太机械了！
　　为了改变孩子这种机械的思维和解题习惯，我们继续以他做对了第7、8、9、10题为例（见附件二），启发他进行思维上的拓展。
　　第7题，儿子把图意理解为“14里有7个2”，列式为“14÷2＝7”。我们说：你也可以从行上看每份数。这样的话，每份数就是7，份数就是2。因此这个题目的另外一种答案就是：“14÷7＝2，表示14里面有2个7”。第10题也可以这样想。
　　第8题，儿子的答案是“12÷4＝3，表示12里面有3个4”。我们说：因为图片里的虚线已经表示了份数的划分方法，你这是唯一正确的答案。而第○7、○10题没有规定怎么分，所以可以有多种答案。
　　第9题，儿子把图意理解为“12平均分，每份是6，求份数”，列式为“12÷6＝2”。我们跟他说：也可以把图意理解为“12平均分为2份，求每份数”，列式为“12÷2＝6”。因此，“12÷6＝2”和“12÷2＝6”这两种答案都可以算对。
　　第10题，儿子把图意理解为“16平均分，每份是2，求份数”，列式为“16÷2＝8”。我们跟他说：也可以把图意理解为“12平均分为8份，求每份数”，列式为“16÷8＝2”。因此，“16÷2＝8”和“16÷8＝2”这两种答案都可以算对。
　　经过启发和引导，儿子能够理解和接受我们对第7、8题进行的拓展性讲解，但不理解、不接受我们对第9、10题作所的拓展性讲解。原因还是前面说的，儿子固执地认为“除数永远代表每份数，商永远代表份数”，尽管在做第16题（附件三）时，他将“把15平均分成5份，每份是3”列式为“15÷5＝3”。当我们指出这种前后矛盾时，儿子一脸茫然，还抗议说“你把我的脑子都弄乱了”。
　　也许，真是我们急于求成了，不应该让这么小的孩子接触和从事这么复杂的数学思维，不应该用这么难的内容搞乱了孩子的脑子，不应该用这么多的练习把孩子的脑子练僵了，练傻了，把孩子的对数学的良好感觉和浓厚兴趣练没了。所以，我们没有深究下去，硬要孩子跟我们想得一样深，一样全面。但是，孩子对于除数和商的理解过于机械这个问题，应该是属于基础知识、基本概念问题，我们又怎能不重视呢？我们吃不准：我们对于除法的理解是不是正确的？我们给孩子的除法作业辅导是不是与现在的课程内容一致？如果我们错了，我们应该怎样去指导孩子呢？

　　总之，我们在数学辅导上有许多困惑，希望陈老师能够拨冗予以指点。很抱歉我们给您添加了这么多麻烦！
　　顺颂　教安！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-22 12:36 编辑 ].

楼上分析的煞清，很有道理。问题是跟孩子讲不清楚，因为现在他们数学老师说，现在教乘法，不那么讲究啦，“现在新教材不像老教材那样强调每份数放在乘号的前面了。它是根据语言的顺序进行书写。例如，3个4连加 3×4；4的3倍 4×3. ”这是老师原话。所以跟孩子讲的太多的话，我怕反而让他迷糊了。不说也罢。.

46号这位妈妈说的没错。你理解的意思与我一样。里面固定的数字基本放在乘数上，点出来的数字一般都放在被乘数这个位置，不信，你们就按照题目自己来读一读吧！就会理解了.

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刚接了个电话，女儿趁机来捣蛋，真气死人了，各位不好意思啦！.

呵呵，理解，相信也是孩子捣蛋，不过还是挺有意思的，这么漂亮的表情.

是啊，我同意7的5倍即5个7

我的意思是不必让孩子每份数、份数搞得那么复杂!

只要孩子能理解题意，讲清这道题是几个几，或者几的几倍，就行了，（意义必须清楚，不能颠倒着来）至于列算式，则语言优先，他认为是5的7倍，就是5*7

他认为是7个5，就是7*5，不要学得那么累嘛！现在的教材不同与我们小时候学得教材了.

我非常同意hxy007的观点，因为实际的感触。

(1)2个3就是2份3，也就是3的2倍。这些属于从生活引入数学术语，引入后明白就可以

(2)数学上记做3×2。清爽。

(3)等到数学过了基础阶段，拐个弯自己就可以理解：3×2可以说是2个3，也可以说是3个2；2个3也可以记做2×3

现在的教材的问题是：它说2个3是2×3,3的2倍是3×2，于是2×3=3×2.拜托，交换律不是这么通过玩文字游戏证明的，虽然教材上没这么说,它的证明是通过前面几页的矩形图，但看过教材你就知道，它似乎觉得自己用这种方法隐式地证明了交换律。会让小学生误入歧途。

其实最大的问题是，让小学生思路不清，小学生以为‘A*B就是A个B或者是A的B倍’。可是，概念上A个B怎么就是A的B倍了呢？？？那是通过交换律得出的，思维上弯了弯，对一个普通小学生而言，她只是记住了'A*B就是A个B或者是A的B倍'，然后看到题目就套乘法，根本没有好好理解!!! 而只要她理解了，要么会觉得书上不对，要么为书上辩解说用了交换律——真要有那个能力也不用大人操心了...

对于基础教材，你可以把系统性严谨性等等隐藏在印出来的纸张背后，但不能不要。你可以说‘A*B就是B个A或者是A的B倍’，也可以反过来说‘B*A就是B个A或者是A的B倍’,但不能说'A*B就是A个B或者是A的B倍'.请保持概念的一致性！

概念出问题，到了三年级，题目就跟不上了。比如:

90*6里面有几个10?
我家大宝做不出，后来她说540去掉0.答案对了，但是根本不知道为什么。平时就吃亏在傻做，慢，错。
把思路解析一遍，看看孩子缺了什么：
a)90的6倍。 孩子没反应出来，因为平时只要看到A*B孩子就想到A‘个’B,她想不到是A的B倍。新教材都把概念混起来了，当然不强调这些概念了。
b)90是9个10.10作为整体理解，大宝又没学好，一（下）的东西
c)（9的6倍）个10。要能闪现图形就OK，可她表示还要想想。
d)乘法自然跳了出来. 9×6=54。 由于我和她讲了半年的‘乘法是特殊的加法，你看×这个符号’所以她好像理解了但不知道真会了吗？
另外，90×6=540也是源自把10看作整体，书上引入×10有说的。

看到一篇文章‘用新思想去审视新教材中的“乘法意义”’， 里面有个例子：
如果让学生算“72×8＋2×72”，这种题型在过去是一个教学的难点。因为要理解它必须用到“交换律”和“分配律”，要不就会“拐不过弯来”。今天的学生却可以十分自然地选择适当的意义而想到：8个72加上2个72不就是10个72啦！
而在我看来，新教材交换律的提早引入不坏，但是把A*B说成‘是A个B或者是A的B倍’绝对是大败笔！

顺便想hxy007还有别的高手求救：

我家大宝女孩，大月入学，智力方面从没早教，最多就是画画图做做手工，很普通的孩子

中班学校教过一阵10的分解，让她没自信（当时我问她的）。真懊恼我以前也不懂，不知道高明的父母都已经在在生活中，在游戏中启蒙数学概念了。

三年级了，才摸清她的数学底子：数学中等偏下，其中有些模块中等，但是非常重要的数感较差（我高考148的好不好...)，题目绕点弯灵活点就不会，讨厌数学（学校啊...)，凡是出现的难点她都觉得难，比如时钟日历什么的。二年级成绩在80-90（普通难度卷子）。三年级了成绩似乎要跌了...

文科不错，所以和语文无关。
暑假玩过一阵钓鱼游戏，她20以内的进位加减总算还可以了。
但是十几加几要顿顿，显然没把十作为整体，更不要说几十几百了，口算心算能力很差，我感觉和概念也有一定关系（因为老师的题海做过很多了,所以不缺练习）。淘宝买了火柴，希望能补上。
数字谜等题目略难就无解
现在三年级在练的巧算也是很机械，题目变变就不会，比如我来道3456-789-477她肯定死算，3456-789-457也悬...
也不会看到需要计算了就感觉一下大概是多少，估算只是老师的题型，并没有进入她的血液。

让她审题看清已知和未知，理解了划关键字，避免陷阱，她也很机械，不自然，显然理解不够。让她让她数图结合，也有点机械。
现在每天作业很多，而且老师要求自己做完自己检查，所以暂时不督促她，她就不划关键字也不数图结合了，进入‘高速’的题海模式，快速做完，不会就乱做。

毕竟将来还要高考，不可能说就让数学去吧，所以想了不少方法（英文和语文的时间就少了…）：
（i)在生活中渗透最好，但是备课和时机的把握要求很高特别是孩子时间少，而且可遇不可求
（ii)以教材的核心概念（+ - × / 等）为主，那么必须从1年级讲起了（我花了半年才让她稍微悟到+就是合并，添加），现在三年级的没法讲，因为题目里出现的数都是几十几百了，而她几十几百的概念和运算都有问题（反应出来就是口算心算很慢比如20×8要想个2，3秒）
（iii)或者把益智比如百花和奥数里的题目从简单开始拿出来操作操作引导她（比如那种分类，猜图形，逻辑推理题，图形剪切拼凑之类，当然也有学校数学部分）
(iv)还买了或者做了一些益智游戏比如大富翁（这个好玩但是太耗时），logix,小乖蛋数字游戏....一起玩玩她蛮开心的，就是不知道深入点她是不是又不喜欢了，另外她就是对24点没感觉，也不喜欢。。。
(v)引入 数学启蒙（MathStart) 之类的讲概念绘本 ？

问题主要是 孩子时间有限（每天最多腾出半个小时，周末最多腾出1小时——而且很有可能她卡壳了结果就没讲什么)， 其次是 大人时间有限（都需要高质量的备课）， 金钱也有限，不可能所有看见的资源都买，都研究，都讲，必须要有主次 所以想 问问各位bbmm有什么好的建议。我要求不高，只要她将来高考能稳定在120以上（满分150),冲击130。

还有,hxy007,你孩子后来纠正了这个概念没有，还是让他去了，现在这个概念影响如何？

先谢谢大家了。

[ 本帖最后由 mc8836 于 2014-10-19 00:14 编辑 ].

现在二年级改了呀，5个7就是5X7，7的5倍就是7X5，老师说怎么读就怎么写。

很久没有来旺网了，抱歉！