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[数学] 请教一道五年级奥数题

1楼szs妈妈 szs妈妈 (......) 发表于 2008-10-22 12:07  只看此人

请教一道五年级奥数题

一个边长为24米的正方形铁皮，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，便可做成一个无盖的铁盒。现在要使做成的铁盒容积最大，剪去的小正方形边长应是多少米？.

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2楼seaheroli seaheroli (......) 发表于 2008-10-22 20:05  只看此人
首先这个盒子是底面为正方形。要想容积最大，是不是指长宽高总和固定时，正方体是体积最大的呀，不知道对不对。这个无盖的铁盒长宽高总和就是24米，那么剪去的边长应该是8米。
奥数的解题方法我不懂，纯粹凭模糊的概念。.

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3楼hanghangma hanghangma (......) 发表于 2008-10-23 09:48  只看此人

回复 1#szs妈妈 的帖子

我是采用带入数值的方法计算的：
设剪去的小正方形的边长为x，那么做成的无盖铁盒的底边长为24-2x，高为x，容积为底边长的平方乘以高x。x的取值范围为0~12，带入数值计算如下：
x=1时，容积为484；
x=2时，容积为800；
x=3时，容积为972；
x=4时，容积为1024；
x=5时，容积为980；
x=6时，容积为864；
x=7时，容积为700；
x=8时，容积为512；
x=9时，容积为324；
x=10时，容积为160；
x=11时，容积为44；
可以看出边长为4时容积最大，又试着带入3.5和4.5，结果分别为1011.5和1012.5，到此可以确定答案是4米。
请指教。.

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4楼szs妈妈 szs妈妈 (......) 发表于 2008-10-23 11:31  只看此人
谢谢hanghangma..

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5楼家有小儿kimi 家有小儿kimi (向往阳光灿烂的日子) 发表于 2008-12-29 16:49  只看此人
3楼的做法不够严谨,不能保证4一定是最大的,

2楼的思路对了，但有个错误，即容积的长宽高之后并非固定为24，例如减去1米的小正方形，长宽高分别为22、22、2。

我的解题思路：
设减去的正方形边长为A，则容积为（24-2A）*（24-2A）*A
注意到4A+（24-2A）+（24-2A）=48不变，再用2楼的思路，当4A=24-2A时容积最大，即当A=4时，容积为1024，达到最大。.

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6楼捣蛋鬼狐狸 捣蛋鬼狐狸 (......) 发表于 2008-12-30 11:28  只看此人
这道题目隐含一个先验知识。
A+B的和固定，求A*B的最大值，答案是A=B的时候，A*B最大。
学了因式分解以后可以这么理解
A*B=((A+B)^2 -(A-B)^2)/4,要求A*B最大只有(A-B)^2最小，这时候A-B=0.

更进一步就是多个数的时候，结论一样。

类似的可以推导出许多有意义的结论，
比如长方形周长一样，正方形面积最大。

老夫当年就是做过许多类似的题目就是想办法去凑数，
凑到多个乘数的和一定。相等才能保证积最大。.

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