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[数学] 2008-8-15

1楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2008-8-15 08:08  只看此人

2008-8-15

ABC的内切圆切BC边于D，求证：DABD和DACD的内切圆互相外切。.

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2楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2008-8-15 08:49  只看此人
郁闷呀，题目都没看懂。
内切圆互相外切？.

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3楼一叶轻舟 一叶轻舟 (点击左侧我的网站,光临我的博客......) 发表于 2008-8-15 09:00  只看此人
我先画幅图, 但我还没证出来
O为△ABC的内心, D是O在BC上的射影 (即OD⊥BC),
O1,O2分别是△ABD和△ACD的内心 (显然B,O1,O及C,O2,O共线)
现在的问题转化成求证:O1O2⊥AD

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-8-15 09:10 编辑 ].
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4楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2008-8-15 10:59  只看此人
是滴，想到这步就卡住了，郁闷！.

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5楼ITmeansit ITmeansit (......) 发表于 2008-8-15 11:19  只看此人
呵呵，感觉这样是走进死胡同了！
另外一种思路：设BD=y,CD=z,AD=w，三角形三边BC=a,CA=b,AB=c
再设DE=a1,DF=a2，EF为AD上分别为△ABD和△ACD之内切圆的交点。
可以计算出：y＝(a+c-b)/2,z=(a+b-c)/2
a1=(y+w-c)/2=(2w+a-b-c)/4
a2=(z+w-b)/2=(2w+a-b-c)/4
则：a1=a2,即DE=DF，E.F是两点重合。得证。.

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6楼一叶轻舟 一叶轻舟 (点击左侧我的网站,光临我的博客......) 发表于 2008-8-15 11:29  只看此人

回复 5#ITmeansit 的帖子

完全正确!
解法非常精妙, 豁然开朗.

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7楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2008-8-15 11:47  只看此人
厉害啊！景仰！.

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8楼老姜 老姜 (热烈欢呼旺网五条杠委员会成立！) 发表于 2008-8-15 13:39  只看此人
ITmeansit的证明方法属于同一法。在直接方法卡壳的情况下，这种方法显示出了威力。赞一个！

一叶轻舟的思路也是可行的，并未走进死胡同。利用计算可以知道：AO1^2+DO2^2=AO2^2+DO1^2，所以O1O2⊥AD，命题得证。

给出老猫问题的一个推广：若四边形ABDC存在内切圆，则三角形ABD、ACD的内切圆外切。当B、C、D三点共线时，E、D、F为同一点，四边形退化为三角形。

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9楼ITmeansit ITmeansit (......) 发表于 2008-8-15 19:08  只看此人
引用:
原帖由 老姜 于 2008-8-15 13:39 发表 \"\"
ITmeansit的证明方法属于同一法。在直接方法卡壳的情况下，这种方法显示出了威力。赞一个！

一叶轻舟的思路也是可行的，并未走进死胡同。利用计算可以知道：AO1^2+DO2^2=AO2^2+DO1^2，所以O1O2⊥AD，命题得证。
...
请教：AO1^2+DO2^2=AO2^2+DO1^2，这个计算我还没有看出来。.

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10楼老姜 老姜 (热烈欢呼旺网五条杠委员会成立！) 发表于 2008-8-15 22:42  只看此人
引用:
原帖由 ITmeansit 于 2008-8-15 19:08 发表 \"\"

请教：AO1^2+DO2^2=AO2^2+DO1^2，这个计算我还没有看出来。
首先说明一下，你的方法是老猫问题的最简单的方法，我这里给出的证法二，只是留给一叶轻舟的一条“逃生之路”。-_-

请教不敢当。以题会友，本来是一件雅事。

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[ 本帖最后由 老姜 于 2008-8-16 05:26 编辑 ].
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11楼一叶轻舟 一叶轻舟 (点击左侧我的网站,光临我的博客......) 发表于 2008-8-15 23:08  只看此人

回复 10#老姜 的帖子

对的，在你的提示下, 我也刚刚满头大汗算出来, 感觉你在拼命挽救我

贪心一记, 如果单从角度方面去证, 还有希望吗? 我哪能绕来绕去绕不出来  

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-8-15 23:10 编辑 ].

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12楼老姜 老姜 (热烈欢呼旺网五条杠委员会成立！) 发表于 2008-8-16 05:42  只看此人
引用:
原帖由 一叶轻舟 于 2008-8-15 23:08 发表 \"\"
对的，在你的提示下, 我也刚刚满头大汗算出来, 感觉你在拼命挽救我

贪心一记, 如果单从角度方面去证, 还有希望吗? 我哪能绕来绕去绕不出来  
未必不可以，但好像要兜比较大的圈子，有点得不偿失了。.

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