[数学] 2008-5-9

1楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2008-5-9 06:48 只看此人

2008-5-9

已知实数a、b、c满足|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b|，求a+b+c。.

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2楼一叶轻舟 一叶轻舟 (点击左侧我的网站,光临我的博客......) 发表于 2008-5-9 08:12 只看此人

a+b+c = 0
解: 由|a|≥|b+c| 推出 a^2>=b^2+c^2+2bc ------(1)
   由|b|≥|a+c| 推出 b^2>=a^2+c^2+2ac ------(2)
   由|c|≥|a+b| 推出 c^2>=a^2+b^2+2ab ------(3)
   (1)+(2)+(3)得a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc<=0
   即(a+b+c)^2<=0
   ∴ a+b+c=0.

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3楼上海的考拉 上海的考拉 (不忽悠，不矫情！) 发表于 2008-5-9 10:36 只看此人

正解！

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4楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2008-5-9 14:27 只看此人

这个解现在很流行。它利用了绝对值的一种性质，的确很简洁。

但是说老实话，我不太喜欢这种解法。我比较喜欢讨论正负的一种解法，那种解法我认为更显出绝对值的本质。

有0的容易解决
a、b、c不能同号，否则|a|>=|b|+|c|和|b|>=|a|+|c|不可能同时成立。
不妨假设a为正，b、c为负。于是|a|>=|b|+|c|，因此a的绝对值最大。因此|c|>=|a|-|b|。所以|a|=|b|+|c|。
得证。.

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