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[数学] 2007-12-22 初一

1楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-12-22 07:52  只看此人

2007-12-22 初一

已知a+b+c=3，a^2+b^2+c^2=29，a^3+b^3+c^3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值。.

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2楼jhfwin jhfwin 已被禁止发言 发表于 2007-12-22 17:52  只看此人
４２。.

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3楼YINGMM YINGMM (......) 发表于 2007-12-22 20:07  只看此人

回复 2#jhfwin 的帖子

怎样算?.

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4楼YINGMM YINGMM (......) 发表于 2007-12-22 20:48  只看此人
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=ab(3-c)+bc(3-a)+ca(3-a)=3(ab+bc+ad)-3abc
(a+b+c)^2=29+2(ab+bc+ac)=9  ab+bc+ac=-10
(a+b+c)^3=45+3(ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc)=27
ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=-6
因为ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c=3(ab+bc+ad)-3abc=-30-3abc
又因为ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=-6
所以-30-3abc+2abc=-6  abc=-24
再带入ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=-6
ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
-48=-6
得ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=42   
这题出的真有水平.

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5楼cool爸爸 cool爸爸 (随风飘去。) 发表于 2007-12-23 09:54  只看此人
引用:
原帖由 YINGMM 于 2007-12-22 20:48 发表 \"\"
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=ab(3-c)+bc(3-a)+ca(3-a)=3(ab+bc+ad)-3abc(a+b+c)^2=29+2(ab+bc+ac)=9  ab+bc+ac=-10
(a+b+c)^3=45+3(ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc)=27
ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=-6 ...
做得不错，但是，第一步中ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=ab(3-c)+bc(3-a)+ca(3-a)应该为3－b.

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6楼YINGMM YINGMM (......) 发表于 2007-12-23 19:19  只看此人
不好意思，昨天晚上做得头，晕死了，不小心打错了，谢谢纠正.

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7楼YINGMM YINGMM (......) 发表于 2007-12-23 19:23  只看此人
.

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8楼zhenai zhenai (点击这里放飞你的心情) 发表于 2007-12-24 09:36  只看此人
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
=a^2*(b+c)+b^2*(c+a)+c^2*(a+b)
=a^2*(a+b+c)+b^2*(a+b+c)+c^2*(a+b+c)-(a^3+b^3+c^3)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)
=3*29-45
=42.

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9楼cechooooo cechooooo (......) 发表于 2007-12-24 12:00  只看此人

回复 8#zhenai 的帖子

干净.

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10楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-12-24 14:40  只看此人
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
=a^2*(b+c)+b^2*(c+a)+c^2*(a+b)
好漂亮的变形。.

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11楼YINGMM YINGMM (......) 发表于 2007-12-24 17:16  只看此人

回复 8#zhenai 的帖子

太聪明了!.

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