[数学] 2007-11-9

在1-1000中能被[2x]+[4x]+[6x]+[8x]表示出来的自然数共有多少个。
其中[x]表示不大于x的最大的整数。.

没学过高斯什么什么的，但也可以试试，找找规律再说。
[2x]+[4x]+[6x]+[8x]
任取x>0=a+b，a是>=0的整数，0<=b<1
[2x]——
当0/2<=b<1/2时，[2x]=2a
当1/2<=b<2/2时，[2x]=2a+1
[4x]——
当0/4<=b<1/4时，[4x]=4a
当1/4<=b<2/4时，[4x]=4a+1
当2/4<=b<3/4时，[4x]=4a+2
当3/4<=b<4/4时，[4x]=4a+3
[6x]——
当0/6<=b<1/6时，[6x]=6a
当1/6<=b<2/6时，[6x]=6a+1
当2/6<=b<3/6时，[6x]=6a+2
当3/6<=b<4/6时，[6x]=6a+3
当4/6<=b<5/6时，[6x]=6a+4
当5/6<=b<6/6时，[6x]=6a+5
[8x]——
当0/8<=b<1/8时，[8x]=8a
当1/8<=b<2/8时，[8x]=8a+1
当2/8<=b<3/8时，[8x]=8a+2
当3/8<=b<4/8时，[8x]=8a+3
当4/8<=b<5/8时，[8x]=8a+4
当5/8<=b<6/8时，[8x]=8a+5
当6/8<=b<7/8时，[8x]=8a+6
当7/8<=b<8/8时，[8x]=8a+7
综合下
当0/8<=b<1/8时，[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2a+4a+6a+8a=20a
当1/8<=b<1/6时，[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2a+4a+6a+8a+1=20a+1
当1/6<=b<1/4时，[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2a+4a+6a+1+8a+1=20a+2
当1/4<=b<1/3时，[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2a+4a+1+6a+1+8a+2=20a+4
当1/3<=b<3/8时，[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2a+4a+1+6a+2+8a+2=20a+5
当3/8<=b<1/2时，[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2a+4a+1+6a+2+8a+3=20a+6
当1/2<=b<5/8时，[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2a+1+4a+2+6a+3+8a+4=20a+10
当5/8<=b<2/3时，[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2a+1+4a+2+6a+3+8a+5=20a+11
当2/3<=b<3/4时，[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2a+1+4a+2+6a+4+8a+5=20a+12
当3/4<=b<5/6时，[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2a+1+4a+3+6a+4+8a+6=20a+14
当5/6<=b<7/8时，[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2a+1+4a+3+6a+5+8a+6=20a+15
当7/8<=b<8/8时，[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2a+1+4a+3+6a+5+8a+7=20a+16

1000/20=50
50*12=600个.

[ 本帖最后由 echooooo 于 2007-11-15 22:03 编辑 ].

嘿嘿.

嘿嘿就完了？
忙乎老半天，又要小心这坑那坑，总结了一点规律，但肯定是既浅薄又漏万，还不知道这玩意儿又有啥变形和应用。
始乱终弃？.

令f(x)=[2x]+[4x]+[6x]+[8x]
f(0)=0,f(1)=20，
而2,4,6,8的最小公倍数为24，因此f只能在f(p/24)处发生变化，p是正整数
2,4整除8，(6,8)的最大公约数是2，因此在(0,1]中有8+6-2=12个节点发生变化
12*50=600.

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