[数学] 2007-10-28 初一

1楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-10-28 07:20 只看此人

2007-10-28 初一

求证：11,111,1111,…这串数中没有完全平方数。.

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2楼lh312151 lh312151 (......) 发表于 2007-10-28 18:26 只看此人

反证法：
如果有某数p的平方形如11,111,111,……1，则p的个位数必为1。
可设此数p 为10a+1，即p^2=(10a+1)^2=11,……1。
p^2=(10a+1)^2
   =100a^2+20a+1
   =20a(5a+1)+1
   =2*10*a(5a+1)+1
可见p^2的十位数是偶数，与题意矛盾，题目得证。.

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3楼MALIDOU MALIDOU (......) 发表于 2007-10-28 20:21 只看此人

上述证法有误。p也可为10a-1；
设这些数为100a+11；
即除4余3，
完全平方数除4余1，0
所以不是完全平方数.

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4楼lh312151 lh312151 (......) 发表于 2007-10-29 09:06 只看此人

引用:

原帖由 MALIDOU 于 2007-10-28 20:21 发表 $\"\"$
上述证法有误。p也可为10a-1；
设这些数为100a+11；
即除4余3，
完全平方数除4余1，0
所以不是完全平方数

嗯，是漏了一种情况

个位数为9时，可设p=10a+9, p^2=(10a+9)^2=20(5a^2+9a)+81
同样可见p^2的十位数是偶数，11……11也不满足条件.

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