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[求助] 预初数学题

1楼cechooooo cechooooo (......) 发表于 2007-8-26 11:39 只看此人

预初数学题

在小于10000的奇自然数n中，是使由n^9的后4个数吗组成的数大于n的奇数n多，还是使由n^9的后4个数吗组成的数小于n的奇数n多？

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2楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-26 12:10 只看此人

不要扁我哦。

我穷举了一下，一共有2480个大于0的，2480个小于0的。所以一样多。

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3楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-8-26 12:25 只看此人

回复 #2 老猫的帖子

能否说说思路及本题要点？

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4楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-26 13:24 只看此人

穷举啊，就是把每一个都算出来，然后比较一下。

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5楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-8-26 17:23 只看此人

回复 #4 老猫的帖子

9次方耶，哥哥！

“穷举”不把我给举穷了？

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6楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-26 21:22 只看此人

还可以啊。
反正我穷举出来了。
当然考试时候不能这样。

问题是如果解最终是一样多，那么一定可以通过对应，做出来。也就是说如果有一个大于0的就对应了一个小于0的。
只是如何对应，我还不知道。.

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7楼sunnysh sunnysh (......) 发表于 2007-8-27 16:31 只看此人

初看题目
硬是没看懂！

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8楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2007-8-28 11:10 只看此人

我们观察小于10000的奇自然数i(i<5000)和10000-i
i k=i^9(mod10000)
10000-i (10000-i)^9(mod10000)=-i^9 (mod10000)=10000-k (mod10000)
如果i>k 那么10000-i<10000-k
如果i<k 那么10000-i>10000-k
如果i=k 那么10000-i=10000-k
i和10000-i 可以一一对应，因此一样多.

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9楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-28 12:35 只看此人

好简单的对应，就是没有想到。

有个小疑问，证明里面没有提起奇数，是不是奇数是个多余条件？.

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10楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2007-8-28 12:56 只看此人

5000是个例外，5000^9的后四位数是0，所以去掉奇数这个条件，后者多1.

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11楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-28 13:05 只看此人

这是一个非本质的例外啊。多这一个对解题没有什么问题的。.

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12楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-8-28 13:17 只看此人

没完全看懂。

思路是清楚了，关键在于9次方的性质不清楚。

如果题目换成7次方、8次方、......怎么解？

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13楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2007-8-28 13:18 只看此人

想错了，被10整除的9次方后四位数都是0，所以去掉奇数这个条件，后者多999个.

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14楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-28 13:45 只看此人

哦，原来偶数有太多的问题。.

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15楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2007-8-29 16:26 只看此人

这个问题用到了数的同余和二项式理论(应该是高中的知识)

这里a=10000,b=i和10000-i
例如 3^9=19683 = 9683 (mod10000)
9997^9=(10000-3)^9=(-3)^9=-19683 =20000-19683=317(mod10000)
3+9997=9683+317
这个结果对于9,7，5，3等奇数次方都成立，
而对于8等偶数次方不成立.

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16楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-29 16:45 只看此人

这个同余的知识初中应该没有问题。二项式的内容如果只用到前面部分是a的倍数，不要详细的内容，初中也能解决。.

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17楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-8-29 17:03 只看此人

嗯，这下明白了。

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18楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-8-29 17:27 只看此人

结论性的：
若a、b为正整数，m为奇数，n为偶数
则（a+b）^m+（a-b）^m=0 （mod a）
（a+b）^n=（a-b）^n （mod a）or（mod b）

对吗？

[ 本帖最后由 echooooo 于 2007-8-29 17:36 编辑 ].

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19楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-29 17:44 只看此人

有没有a、b互质的要求？.

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20楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-8-29 18:13 只看此人

回复 #19 老猫的帖子

貌似不必。

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21楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-8-29 21:05 只看此人

引用:

原帖由 echooooo 于 2007-8-29 17:27 发表 $\"\"$
结论性的：
若a、b为正整数，m为奇数，n为偶数
则（a+b）^m+（a-b）^m=0 （mod a）
（a+b）^n=（a-b）^n （mod a）or（mod b）

对吗？

稳妥起见，加个限定条件，a>b

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22楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-8-29 21:27 只看此人

回复 #21 echooooo 的帖子

这个倒肯定没有什么关系。.

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引用:

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