[数学] 一道奥数题

3816547290
而且是唯一解。

解答过程很长的。.

有点运气成份，推理如下
用*来代表未知的
第十位能被10整除，最后一位为0，第五位能被5整除，第5位为5
****5****0
另外，前2，4，6，8位分别能被2，4，6，8整除
说明第2，4，6，8位为偶数，也就是说从（2，4，6，8）应该分配在这4个位置上
从而有第1，3，5，7位只有在（1，3，7，9）这四个数字中选一个了。
前4位能被4整除（看一个数是否能被4整除的数，只需看最后两位是否能被4整除），由于第3位为奇数，所以第4位只能为2或6
前8位能被8整除（看一个数是否能被8整除的数，只需看最后三位是否能被8整除），由于第6位为偶数，第7位为奇数，所以第8位只能为2或6（这样的性质你自己稍微推理一下就有了）
也就是说2和6只能被分配在第4位和第8位上，所以，4和8只能被分配在第2位和第6位上
上面的推理有下面的图：
****5****0
----------------
1412-4121
3836-8363
7-7---7-7
9-9---9-9
上面的图意思：*号下面的数字有可能在这一位

再看，前6位能被6整除，而我们第6位已经确定为偶数，我们只需看前6位是否能被3整除（能被3整除的数，每个数字的和能被3整除），而前3位能被3整除，所以我们只需看第4位到第6位能否被3整除，即
*5*
2-4
6-8
能被3整除的只有两种组合：258或654

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

先用258来试试：
于是图又有了变化（这个时候2，4，6，8这四个数字的位置已经被确定了）
*4*258*6*0
1-1---1-1
3-3---3-3
7-7---7-7
9-9---9-9
前三位能被3整除，这样的组合只有147或741，也就是说1和7已经被安排在第1位或第3位上
*4*258*6*0
1-1---3-3
7-7---9-9
8*6应该能被8整除，第7位只能是9
于是又有：
*4*2589630
1-1
7-7
前两位不管1、7位置如何放，都不能满足前7位被7整除，所以推理失败。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

我们再把654代进去：就有
*8*654*2*0
1-1-----1
3-3---3-3
7-7---7-7
9-9-----9
这个时候，我只能把3或7一个个放在第8位去试了，先放3进去
*8*65432*0
1-1-----1
---------
7-7-----7
9-9-----9
再根据前3位能被3整除，有组合：189，789，981，987，结果发现前7位均不能被7整除，所以只能把7放进第8位了
*8*65472*0
1-1-----1
3-3-----3
7-7-----7
9-9-----9
同样，根据前3位能被3整除，有：183，189，381，387，一个个试
发现381可行，于是有了：
3816547290

测试：
3/1
38/2
381/3
3816/4
38165/5
381654/6
3816547/7
38165472/8
381654729/9
3816547290/10
均可整除，成功.

RogerioAug27-04, 02:14 PM
Rogerio, could you please share your reasoning with us? Thank you.

OK, let's go!
(I'm gonna use the symbol '=' with the extra meaning 'belongs to')

The 10 digits number is divisible by 10 -> '0' is the last digit.

The 9 digits number is divisible by 9 -> as the first nine digits sum 45, don't care about the last digit.

The 5 digits number is divisible by 5 -> '0' is not available, so '5' is the last digit.

Our whole number is 'A B C D 5 E F G X 0' .
AB is divisible by 2 -> B is even
ABCD is divisible by 4 -> D is even , and so on.

B,D,E,G belong to [2,4,6,8]
A,C,F belong to [1,3,7,9]

C is odd and ABCD is div by 4 -> D = [2,6]
F is odd and ABCD5EFG is div by 8 -> G = [2,6]
So, D,G=[2,6] and B,E=[4,8]

ABC is div by 3, so A+B+C is div by 3
But ABCD5E is div by 6 and 3, too. So D+5+E is div by 3

Since ABC is div by 3, and B=[4,8]
if B=4 -> A,C=[1,7] So, E=8 and F=[3,9]. But D5E is div by 3 , and D=[2,6] , so D=2 . So G=6. But FG should be div by 8, so F=9 .
So, ABCD5EF = 1472589 or 7412589 which are not div by 7.
So B can't be '4' .
Then B=8 (and E=4).

E=4 and D5E is div by 3 -> D=6 . So G=2.


B=8 and ABC is div by 3 -> A,C=[1,3] or A,C=[7,9]

if A,C=[7,9] -> F=[1,3] but FG is div by 8 so F=3.
So ABCD5EF = 7896543 or 9876543 , which are not div by 7.

if A,C=[1,3] -> F=[7,9] but FG is div by 8 so F=7.
So ABCD5EF = 1836547 or 3816547 . And only 3816547 is div by 7.

So, the number is 3816547290 :-).