[数学] 华杯赛往届难题之五-面积问题

1楼wood wood (......) 发表于 2007-10-19 17:12 只看此人

华杯赛往届难题之五-面积问题

问题：四边形ABCD，∠A=∠C=45度，AB=CD=15厘米，∠ABC=105度，求ABCD面积。

此题为第8届华杯决赛第二试第3题，初中同学能做也属不易。
由于是陈题，只提供答案意义就不大了，希望能学习到你的解法。.

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2楼wood wood (......) 发表于 2007-10-20 08:52 只看此人

回复 1#wood 的帖子

我没能找到能让小学同学完全理解的做法。只找到了一个对于初中同学来说相对简明的解答，在这里抛砖引玉，希望能够学习到更简洁的解答。
解：做等腰直角三角形ABE，由已知∠EBC=∠EDC=15度，所以B、D、E、C共圆，由于在此圆中BE=AB=CD，所以BDEC为等腰梯形，这样，ABCD面积=ABD+CBD=ABD+EBD=三角形ABE的面积=15×15÷2=112.5。.

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8届华杯.GIF (3.85 KB)

2007-10-20 08:52

8届华杯.GIF

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3楼wood wood (......) 发表于 2007-10-20 12:11 只看此人

上面的解法虽然小学同学完全接受有一定的困难，但是它却揭示了一个有趣的问题，也就是说，题目有一个条件是多余的！
其实不需要用到∠ABC=105度这个条件，因为即使不知道∠ABC等于多少，我们还是可以根据∠E=∠C=45得出B、D、E、C共圆，最后也能算出ABCD面积=ABD+CBD=ABD+EBD=三角形ABE的面积=15×15÷2=112.5！