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[数学] 求教04年新知杯的一道几何题

1楼sbhan sbhan (......) 发表于 2010-10-11 17:53 只看此人

求教04年新知杯的一道几何题

在三角形ABC中，AB=AC，点P、Q分别在AC、AB上，且AP=PQ=QB=BC，则∠A的大小是？
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2楼老姜 老姜 (热烈欢呼旺网五条杠委员会成立！) 发表于 2010-10-11 18:21 只看此人

帮顶。.

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3楼家有爱女心切切 家有爱女心切切 (......) 发表于 2010-10-11 19:50 只看此人

是不是繁琐了

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4楼wip老爸 wip老爸 (......) 发表于 2010-10-12 07:23 只看此人

又解:

过P作AB平行线, 过B作PQ平行线, 两线交于D, 连接CD
∵AP=QB=PD, AQ=AB－QB=AC－AP=PC, ∠A=∠DPC
∴⊿APQ≌⊿PDC ∴ PQ=DC, ∠AQP=∠PCD
∵BC=PQ =DC= DB ∴⊿BCD为等边三角形
∴∠A=∠AQP=∠QBD=∠PCD=(180°－60°×2)/3=20°

[ 本帖最后由 wip老爸于 2010-10-12 07:27 编辑 ].

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5楼冬瓜爸爸 冬瓜爸爸 (......) 发表于 2010-10-12 08:47 只看此人

回复 4#wip老爸的帖子

此题有多种解法，据说有近10中解法。
我个人比较偏好wip老爸的平移法：既然题目中给了4根等长的线，把上面的两根平移下来，不就肯定构成正三角形了嘛。看到这个正三角形，题目立即得解。
顶角为20度的等腰三角形是一个著名的等腰三角形，里面含有不少有趣的结论，我再给大家出一题：
△ABC中，AB=AC，∠A=20度，D在AB上且AD等于底边长，求∠BDC。.

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6楼sbhan sbhan (......) 发表于 2010-10-12 09:28 只看此人

真厉害，谢谢各位BBMM.

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7楼sbhan sbhan (......) 发表于 2010-10-12 09:37 只看此人

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-10-12 08:47 发表 $\"\"$
此题有多种解法，据说有近10中解法。
我个人比较偏好wip老爸的平移法：既然题目中给了4根等长的线，把上面的两根平移下来，不就肯定构成正三角形了嘛。看到这个正三角形，题目立即得解。
顶角为20度的等腰三角形是 ...

由wip老爸的做法可以直接得出是30°

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8楼wip老爸 wip老爸 (......) 发表于 2010-10-12 09:59 只看此人

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作等边三角形BEC, 连按EA, 易证⊿ECA ≌⊿DAC
∠BDC=∠A+∠DCA=20°+10°=30°.

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9楼wip老爸 wip老爸 (......) 发表于 2010-10-12 18:08 只看此人

再可简单些:

在AC上取一点D, 使QD=QP, 令∠A=2x
∠AQP=2x
∠QPD=∠A+∠AQP=4x
∠QDP=4x
∠BQD=∠A+∠QDA=6x
∠QBD=(180°-∠BQD)/2=90°-3x
∠BDC=∠A+∠QBD=90°-x=(180°-∠A)/2=∠C
∴BD=BC=QB=QD, ⊿QBD为等边三角形
6x=60° ∠A=2x=20°.

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10楼GerryBB GerryBB ( ) 发表于 2010-10-12 18:18 只看此人

大家奥了节棍噢！！！
佩服

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11楼一滴清水 一滴清水 (云在青天水在瓶) 发表于 2010-10-12 18:21 只看此人

还有伐多发点备用呵呵.

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12楼老姜 老姜 (热烈欢呼旺网五条杠委员会成立！) 发表于 2010-10-12 18:26 只看此人

至少有10种做法。.

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求教04年新知杯的一道几何题

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