[数学] 2007-11-20

求所有的正整数n，使得n4-4n3+22n2-36n+18是一个完全平方数。.

n=1、3

容易知道，n只能是奇数。
因为若n是偶数，则n4-4n3+22n2-36n+18除以4为2，不可能是完全平方数。
设n=2k+1，k为自然数
n4-4n3+22n2-36n+18=16k4+64k2+1=（4k2+8)2-63=b2
设4k2+8=a>b>o
a2-b2=63
(a+b)(a-b)=1*3*3*7
得a=8、12、32
即k=0、1、根号6（舍去）
得n=1、3.