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[数学] 请教一道四年级奥数题

1楼尘妈 尘妈 (......) 发表于 2011-2-21 08:14  只看此人

请教一道四年级奥数题

连续写出从１开始的自然数，写到１００，得到一个多位数１２３４５６７８９１０１１１２．．．９９１００．这个多位数除以３，得到的余数是几？为什么？

[ 本帖最后由 尘妈 于 2011-2-21 08:39 编辑 ].

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2楼dplwhlzm dplwhlzm (......) 发表于 2011-2-21 08:40  只看此人
每连续的3个自然数都能被3整除,那么这题就转化为100/3余几?.

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3楼kunkunmama kunkunmama (......) 发表于 2011-2-21 08:45  只看此人
听老师讲过,这里面有一系列的等价
最基础的原理是：若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
于是就要1+2+3+...+1+0+1+1+1+2+...
但是，可以转化，每位数字相加比如 ...1112... 的...+1+1+1+2...等价于... 11+12...
于是 1+2+3+...+100=5050 不能被3整除
而余数也等价于各位和的除3余数5050/3余1
原理我没听懂,等小孩到三年级再研究,这是四年级中环杯的题目
算难题,老师说不要纠结,要从数论基础开始学习
不然题目稍微一变,还是不会

[ 本帖最后由 kunkunmama 于 2011-2-21 08:59 编辑 ].

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4楼尘妈 尘妈 (......) 发表于 2011-2-21 08:51  只看此人

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“每连续的3个自然数都能被3整除“为什么？是原理吗？那换成被４整除怎么做呢？.

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5楼尘妈 尘妈 (......) 发表于 2011-2-21 08:56  只看此人

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我验算了，被３整除结果是对的。被４整除用这个原理结果不对。.

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6楼kunkunmama kunkunmama (......) 发表于 2011-2-21 09:00  只看此人

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本来原理就不同：
若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。.

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7楼lindazhou lindazhou (......) 发表于 2011-2-21 09:02  只看此人

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好像是最后两位除得尽4的，.

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8楼尘妈 尘妈 (......) 发表于 2011-2-21 10:16  只看此人

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谢谢！除了３和4其它数字整除的原理还有吗？.

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9楼kunkunmama kunkunmama (......) 发表于 2011-2-21 10:37  只看此人

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　　整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。
　　整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
　　整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
　　整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
　　整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。
　　整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
　　整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
　　整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
　　整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
　　整除规则第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除
　　整除规则第十一条（11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2 而是1！
　　整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
　　整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
　　整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
　　整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
　　整除规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除，则这个数能被23整除
　　整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除
　　整除规则第十八条（18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73 整除
　　整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被 137整除
　　整除规则第二十条（20）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
　　切记：0 不能做除数！.

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10楼度度爸爸 度度爸爸 (......) 发表于 2011-2-21 12:43  只看此人
简单点的，把１２３４５６７８９１０１１１２．．．９９１００每位数加起来就是
（10+20+。。。。+90）+（1+2+...+9)*10+1=901, 如果最后一位补个2，就可以被3除尽，所以原来的数除以3余1..

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11楼尘妈 尘妈 (......) 发表于 2011-2-21 12:48  只看此人
明白了！谢谢各位爸爸、妈妈！.

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12楼kunkunmama kunkunmama (......) 发表于 2011-2-21 13:43  只看此人

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基础不扎实的话，度度爸爸的方法比较可靠。
老师的方法直接使用了1加到100等于5050的结论，所以快。.

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13楼zxy2802 zxy2802 (一切都好！) 发表于 2011-2-21 15:25  只看此人

回复 12#kunkunmama 的帖子

你这个算法更明了吧,个人感觉不同..

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14楼肖妞妞妈妈 肖妞妞妈妈 (......) 发表于 2011-2-21 16:29  只看此人

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这个题目考得是数码问题,要把各位(123456789101112...100)加起来的结果除以3,加起来的算法是分组(0,99)(1,98)(2,97)...(49,50)各组加起来的数字和是18,有50组,共900,之后加上100的数字1,所以结果是901去除以3,余1.
而若按照1加到100方法,个人觉得方法用错了,因为整不整除3是用各位的和去除以3,而不是直接用这个数除以3,如23,这个数的各位和是5..

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15楼Samual Samual (惊弓之鸟) 发表于 2011-2-21 21:23  只看此人

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...
于是就要1+2+3+...+1+0+1+1+1+2+...（这个是数字和）
但是，可以转化，每位数字相加比如 ...1112... 的...+1+1+1+2...等价于... 11+12...（这个是子数段和）
...
这个有依据吗？.

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16楼格妈妈 格妈妈 (简单生活) 发表于 2011-2-22 00:19  只看此人

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方法没有错，可以用1加到100方法。甚至可以任意在123.....99100中截取一段一段的数字来做，同样正确。
本题2楼的方法最简单明了。.

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17楼duzhip duzhip (快速成长期) 发表于 2011-2-22 10:05  只看此人

回复 9#kunkunmama 的帖子

这个总结很有用，打印了，谢谢!.

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18楼yezima yezima (忙碌地工作平静地生活) 发表于 2011-2-22 11:47  只看此人

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谢谢，这个很有用的。送花.

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19楼普通 普通 (不了解我) 发表于 2011-2-22 22:03  只看此人

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我同意！
2楼的方法最简单明了
不过前提是孩子要知道这个规律
即，要知道每连续三个自然数组成的数能被3整除.

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