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[数学] 日奥赛“最多”有两解，小机灵“至少”亦两解？

1楼成成の爸爸

成成の爸爸 (缘) 发表于 2009-1-7 08:48 只看此人

日奥赛“最多”有两解，小机灵“至少”亦两解？

1996年第五届日本小学数学奥林匹克决赛第一题

原题：在一个村子里，共有1000户人家，每户人家只有一个人。
元旦的时候，这个村子里所有的人都给离自己家最近的一家发一张贺年卡，各家之间的距离都不相同。
另外，没有从村外寄来的贺年卡。
请问：在这个村子里，一个人最多能收到几张贺年卡？请写出理由。

估计出题的意图：与户数无关，因一周是360度，所以最多能容纳5个60度以上的角，那么答案应该为5张。

事实上，很多学生的答案为999张。
起初，判999张的答卷是错的。不久，一位细心的老师忽然若有所悟。
于是，又把所有的答卷重新评判了一遍，最后，判999张的答案也是对的。

2003年第二届聪明小机灵邀请赛五年级决赛第六题

原题：假定150个人中的每一个人都知道一个消息，而且这150个消息都不相同。
为了使所有的人都知道一切消息，他们一共至少要打（）个电话？

挑战思维，此题希望大家能各抒己见。.

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2楼amyhuangli amyhuangli (......) 发表于 2009-1-7 09:18 只看此人

149+148=297 不知对吗？.

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3楼wikky wikky (......) 发表于 2009-1-7 09:18 只看此人

回复 1#成成の爸爸的帖子

为了听成成の爸爸的课,先应一个估计是不对的一个解——
1、因为至少149人依次接听一下电话，才能使最后一个人知道所有消息，所以，先至少149个电话；
2、第149人，再把150个消息倒回去告诉余下的148（149-1）人，（因为第149个电话中，第149人、第150人彼此都知道了全部150个消息），所以，又至少148个电话。
加起来，答数是149+148=297（个）。
成成の爸爸：这是其中的1解吗？

[ 本帖最后由 wikky 于 2009-1-7 09:26 编辑 ].

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4楼成成の爸爸

成成の爸爸 (缘) 发表于 2009-1-7 09:24 只看此人

回复2#amyhuangli 、3#wikky 的帖子

只因主办方给出的答案是298。.

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5楼wikky wikky (......) 发表于 2009-1-7 09:28 只看此人

回复 4#成成の爸爸的帖子

耶！

说明我的答案是对的！.

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6楼成成の爸爸

成成の爸爸 (缘) 发表于 2009-1-7 11:43 只看此人

主办方给出的题解

考虑一种特殊情况，让149个人打电话给A，再有A给149人打电话，那么149 + 149 == 298。.

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7楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2009-1-7 12:28 只看此人

先由1号和5-150号通话 146个
1-2 3-4 通话 2个
1-3 2-4 通话这样1，2，3，4号就知道了所有的消息 2个
1号和5-150号通话 146个
共146+2+2+146=296个
一般情况见：
http://club.163.com/viewElite.m? ... 981_100d2d177430005
最原始的证明和其他证明(英文)
http://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/gossips.pdf
首先主办方给出了错误的答案，完整的解答是需要给出证明的，否则凭什么说是最少的。作为学生可以只给出数字答案，但作为官方应给出完整的解答，否则怎么跟学生解释，遗憾的是，这种情况在小学奥赛中比比皆是。

[ 本帖最后由 xyq2100 于 2009-1-7 16:14 编辑 ].

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8楼成成の爸爸

成成の爸爸 (缘) 发表于 2009-1-7 12:41 只看此人

引用:

原帖由 xyq2100 于 2009-1-7 12:28 发表
先由1号和5-150好通话 146个
1-2 3-4 通话 2个
1-3 2-4 通话这样1，2，3，4号就知道了所有的消息 2个
1号和5-150好通话 146个
共146+2+2+146=296个
一般情况见：
http://club.163.com/viewElite.m?catalog ...

高！.

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9楼成成の爸爸

成成の爸爸 (缘) 发表于 2009-1-7 12:43 只看此人

引用:

原帖由 xyq2100 于 2009-1-7 12:28 发表
首先主办方给出了错误的答案，完整的解答是需要给出证明的，否则凭什么说是最少的。作为学生可以只给出数字答案，但作为官方应给出完整的解答，否则怎么跟学生解释，遗憾的是，这种情况在小学奥赛中比比皆是。

有道理！.

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10楼YUKI666 YUKI666 (世界好小,此ID退休.) 发表于 2009-1-7 15:20 只看此人

小机灵有些题目不严谨.

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11楼wikky wikky (......) 发表于 2009-1-7 15:28 只看此人

回复 7#xyq2100 的帖子

叹为观止！
学习了。
大师啊！.

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12楼第三生活楼 第三生活楼 (......) 发表于 2009-1-7 15:38 只看此人

回复 8#成成の爸爸的帖子

高!实在是高!

.

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13楼龙凤妈 龙凤妈 (平安过一生) 发表于 2009-1-8 10:16 只看此人

欢迎这样的高手经常来露一手，小朋友佩服得五体投地啊！
谢谢大虾！.

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14楼天天_开心就好 天天_开心就好 (......) 发表于 2009-1-8 11:09 只看此人

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15楼chin chin (08，09) 发表于 2009-1-8 18:41 只看此人

原题：在一个村子里，共有1000户人家，每户人家只有一个人。
元旦的时候，这个村子里所有的人都给离自己家最近的一家发一张贺年卡，各家之间的距离都不相同。
另外，没有从村外寄来的贺年卡。
请问：在这个村子里，一个人最多能收到几张贺年卡？请写出理由。

这一题为啥999也是对的？
没想通

能否构造一个例子？
用不着太多人家，10户就够了。

平面上.

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16楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2009-1-8 20:06 只看此人

一种可能性，其他999户人家互相之间有障碍物，无法直接到达，只能通过中间一户人家，但这种解释似乎钻牛角尖.

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17楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-8 20:18 只看此人

回复 16#xyq2100 的帖子

呵呵
这样理解的话以后应用题就没法做了

.

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18楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-8 22:32 只看此人

回复 7#xyq2100 的帖子

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-1-8 22:44 编辑 ].

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19楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-8 22:41 只看此人

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与户数无关，因一周是360度，所以最多能容纳5个60度以上的角，那么答案应该为5张。

个人觉得这个解释不是很好。本来的意图是，以那家收到最多贺卡的人家为圆心，以这家离最近的另一家的距离为半径画圆，考虑在这个圆上能放几个点使得圆上各点之间的距离大于圆的半径。

另外你说999家是怎么想出来的？能否赐教？

即便不考虑平面，考虑房子可以建在空中和地下，也不到999家啊。.

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20楼成成の爸爸

成成の爸爸 (缘) 发表于 2009-1-9 08:25 只看此人

回复 19#jyuntoku 的帖子

1、是的，这只是我对主办方出题意图的估计，并没有写出完整的解答过程。
当然在正式的解题中是不应该这样写的，还应复杂些。可能还需图示加以说明。

2、999的答案有点钻牛角尖，但我认为也有可能。

如果有一间特别大的房子，其周围住着999户（小房子）。
再想象一下小房子的排列，999是否有可能？
如果有可能，那答案能否算对？.

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21楼成成の爸爸

成成の爸爸 (缘) 发表于 2009-1-9 08:29 只看此人

引用:

原帖由 xyq2100 于 2009-1-8 20:06 发表
一种可能性，其他999户人家互相之间有障碍物，无法直接到达，只能通过中间一户人家，但这种解释似乎钻牛角尖

这样的解释恐难接受。.

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22楼成成の爸爸

成成の爸爸 (缘) 发表于 2009-1-9 08:31 只看此人

引用:

原帖由 chin 于 2009-1-8 18:41 发表
...这一题为啥999也是对的？
没想通
能否构造一个例子？
用不着太多人家，10户就够了。

平面上

一个大圆，九个小圆。.

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23楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2009-1-9 08:40 只看此人

这个主要看距离的定义，距离定义为直线距离，答案为5，
如果距离定义为一户到达另一户走过的路程，这种解释可以算钻牛角尖。有一间特别大的房子，周围住着999户，由于户与户之间有墙壁挡着(墙壁为障碍物)，只能由中间特别大的房子周转，那么答案为999。.

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24楼成成の爸爸

成成の爸爸 (缘) 发表于 2009-1-9 08:58 只看此人

引用:

原帖由 xyq2100 于 2009-1-9 08:40 发表
这个主要看距离的定义，距离定义为直线距离，答案为5，
如果距离定义为一户到达另一户走过的路程，这种解释可以算钻牛角尖。有一间特别大的房子，周围住着999户，由于户与户之间有墙壁挡着(墙壁为障碍物)，只能由中间特别大的房子周转，那么答案为999。

我认为距离应该是直线而不是走过的路程。

我是这样考虑的：先假设大房子与小房子都是圆形的。
1、如果大房子与每两户小户之间的夹角相同，那么各户之间的距离都不相同的情况是否有可能产生？

2、如果大房子与每两户小户之间的夹角不同，那么各户之间的距离都不相同的情况是否有可能产生？.

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25楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2009-1-9 09:06 只看此人

如果我们的空间是平面，答案为5已经被证明了。如果是在一个特殊的曲面上，按照曲面上的直线定义，答案可以为999.

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26楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-9 09:16 只看此人

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可以想象所有人家都住在一座大山上，这座山从上往下看，看到山的顶上是一个平面呈一个有999个端点的星（*）型，然后每个星型上的小分支之间是万丈悬崖。哈哈。.

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27楼芒果补丁 芒果补丁 (......) 发表于 2009-1-9 09:16 只看此人

看了你们的讨论，我发现我也开始喜欢这些思维题了．.

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28楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-9 09:17 只看此人

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这个思路应该也算对的。
平面上放999个点，然后999个点以外的部分为另外那家人家（关键是不能把那家人家想成是一个点）。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-1-9 09:19 编辑 ].

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29楼成成の爸爸

成成の爸爸 (缘) 发表于 2009-1-9 09:18 只看此人

引用:

原帖由 xyq2100 于 2009-1-9 09:06 发表
如果我们的空间是平面，答案为5已经被证明了。如果是在一个特殊的曲面上，按照曲面上的直线定义，答案可以为999

在不同的情况下，这个“最多”有着不同的答案。

还好是解答题，如果是填空题，“999”能否翻身，估计还是个谜！.

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30楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-9 09:20 只看此人

回复 23#xyq2100 的帖子

还有一个条件是每户人家是不是都可以看作一个点.

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31楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-9 09:20 只看此人

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999肯定是最多的了。自己不向自己寄贺卡。.

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32楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-9 09:32 只看此人

假定150个人中的每一个人都知道一个消息，而且这150个消息都不相同。
为了使所有的人都知道一切消息，他们一共至少要打（）个电话？

嘿嘿
咱也脑筋急转弯下

题目中没有规定只允许用打电话的方式，
所以至少打0个电话

.

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33楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-9 09:36 只看此人

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稍微不离谱一点
打149个电话开个电话会议也可以了。

.

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34楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-9 09:45 只看此人

回复 31#jyuntoku 的帖子

999也未必是最多的

题目中又没说是这一次收贺卡
如果收到了去年的，或者是前n年前村里人寄出的贺卡呢？

.

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35楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-9 09:54 只看此人

狮子和猎豹在草原上进行百米赛跑，如果从同一起点起跑，狮子跑到一百米终点时，猎豹只跑到90米,现在让狮子从起点退后10米起跑，那么它们谁先到达终点呢？

首先，从题意可知，狮子跑得比猎豹快，即同样距离狮子先到。
其二，后来等于是狮子跑110米，猎豹跑100米。
狮子跑了100米时，猎豹跑了90米，都剩下10米。
其三，既然都剩下10米，当然是狮子先到终点了。
如果是道脑筋急转弯题，就不预考虑了。
否则，谁先到都有道理：
狮子先到：想吃猎豹/猎豹吓趴下了...
猎豹先到：不想让狮子吃了/狮子第一次比累了...
一起到：狮子把猎豹吃了，猎豹在狮子肚子里...
都没到：狮子半路把猎豹吃了，还比什么？

[ 本帖最后由 Gemini 于 2009-1-9 09:55 编辑 ].

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36楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-9 09:56 只看此人

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这就不是数学了。
我也可以说最多是0张，因为题目讲“给里自己家最近的一家”发贺年卡，问“一个人”最多收到几张贺年卡，既然贺卡是发给“家”的，“人”自然没收到。即便“每户人家只有一个人”也不能推出“人”等于“家”。.

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37楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2009-1-9 09:57 只看此人

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有道理.

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38楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-9 09:59 只看此人

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为什么你觉得狮子会把猎豹当作食物的？.

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39楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-9 10:01 只看此人

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是呀
数学题有数学题的思维
不是脑筋急转弯

不过，
ms不可以说最多是0张，
因为问的是“最多”，
要考虑最有利条件

.

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40楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-9 10:04 只看此人

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呵呵
猜测的
要证明不容易
要否定也不容易.

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41楼Gemini Gemini (吃虾米的) 发表于 2009-1-9 10:12 只看此人

水归水，
表达一点正经意见：
要学会用数学的思维解数学题，
该想的要想到，
不该想的就别瞎想。

.

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42楼zhujinhua zhujinhua (文字中无菩提，菩提中无文字) 发表于 2009-1-9 11:11 只看此人

看来奥数是搞脑子的东西。没有常理。得有发散性思维才行。

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43楼成成の爸爸

成成の爸爸 (缘) 发表于 2009-1-9 11:18 只看此人

有一疑虑，谁能解惑？

如果赛题命题有错，主办方一般是如何处理的？（去年曾发生过的事）

[ 本帖最后由成成の爸爸于 2009-1-9 11:21 编辑 ].

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44楼咖啡豆 咖啡豆 (阿) 发表于 2009-1-9 12:43 只看此人

[quote]原帖由 成成の爸爸 于 2009-1-7 08:48 发表

原题：假定150个人中的每一个人都知道一个消息，而且这150个消息都不相同。
为了使所有的人都知道一切消息，他们一共至少要打（）个电话？

我算是149+148=297

1——150号
打出去了解信息149次，最后一次了解信息并把得到的全部信息告诉第149号；
反馈信息150-2=148，就是自己和第149号不需要电话反馈。.

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日奥赛“最多”有两解，小机灵“至少”亦两解？

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主办方给出的题解

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有一疑虑，谁能解惑？

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